Нижняя оценка размера схем из функциональных элементов

Теорема о нижней оценке на число элементов в схеме из функциональных элементов

Теорема:

Большинство булевых функций требуют для реализации порядка [math]\Omega(\frac{2^n}{n})[/math] функциональных элементов, где [math]n[/math] — количество аргументов функции. Формальная запись теоремы: [math]f(n) = \frac{2^n}{n} \; \; \; g(n): \frac{g}{f} \longrightarrow 0[/math] [math]F_g = \{\text{Булевы функции, } size \leq g(n)\}[/math] Тогда [math]\frac{|F_g|}{2^{2^n}} \longrightarrow 0[/math]

Для доказательства этой теоремы нам понадобится доказать несколько вспомогательных утверждений.

Определение:

Линейная программа — список строк вида [math](a, (i_1, \ldots, i_k))[/math], где [math]a \in B[/math] (базис), [math]a: \mathbb B^k \rightarrow \mathbb B[/math], [math]i_j[/math] — индексы переменных.

Пример линейной программы

Линейная программа для функции [math]x_1 \oplus x_2[/math] над базисом [math]\{ \land, \lor, \lnot \}[/math]

[math]y_1 = \lnot x_1[/math]

[math]y_2 = \lnot x_2[/math]

[math]y_3 = x_1 \land y_2[/math]

[math]y_4 = x_2 \land y_1[/math]

[math]y_5 = y_3 \lor y_4[/math]

Длина линейной программы — количество строк.

Теорема:

Для булевой функции [math]f [/math] существует линейная программа длины [math]r[/math] тогда и только тогда, когда существует схема, использующая [math]r[/math] функциональных элементов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Чтобы построить по схеме программу, можно занумеровать элементы схемы в порядке топологической сортировки, и для каждого элемента [math]m[/math] с функцией [math]a[/math] и входами [math]i_1, \ldots, i_k[/math] сопоставить строчку линейной программы с номером [math]m[/math] вида [math](a, (i_1, \ldots, i_k))[/math]. Построение функциональной схемы по линейной программе очевидно.

[math]\triangleleft[/math]

Оценка на количество линейных программ над [math]\{\downarrow\}[/math] длины [math]r[/math]

[math]n[/math] — количество аргументов булевой функции.

[math]\downarrow[/math] — стрелка Пирса, является сама по себе базисом булевых функций.

В первой строчке мы можем выбрать одну из [math]n[/math] переменных ([math]x_1, \ldots, x_n[/math]) и применить к ней [math]\downarrow[/math]. Получим еще одну переменную [math]y_1[/math]. Во второй строчке программы нам на выбор доступны уже [math]n+1[/math] переменных ([math]x_1, \ldots, x_n, y_1[/math]). В общем случае на [math]i[/math]-й строчке (нумерация с единицы) мы можем применить стрелку Пирса к одной из [math]n+i-1[/math] переменных. Из этого следует формула ниже.

Количество линейных программ [math]= K_{n, r} = n^2 \cdot (n+1)^2 \cdot (n+2)^2 \cdot \ldots \cdot (n+r-1)^2 \leq (n+r)^{2r}[/math]

[math]\log_2{K_{n, r}} \leq \log_2 {(n+r)^{2r}} = 2r \log_2 {(n+r)}[/math]

Лемма:

Существует булева функция [math]f: size_B(f) \geq \frac{2^n}{2n}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Посчитаем число линейных программ длиной [math]r \lt \frac{2^n}{2n} [/math] [math]\log_2{K_{n, r}} \leq 2 r \log_2 {(n+r)} \lt \frac{2 \cdot 2^n}{2n} \log_2{(n+ \frac{2^n}{2n})} \leq \frac{2^n}{n} \log_2 {2^n} = 2^n \Rightarrow[/math] [math]K_{n, r} \lt 2^{2^n} \Rightarrow \exists \; f_n: r \geq \frac{2^n}{2n} [/math] Теперь возьмем все булевы функции, размер которых не превышает [math]\frac{2^n}{2cn}[/math] для какого-то [math]c \gt 1[/math]. Тогда [math]\log_2 K_{n,r}\leq 2r\log_2(n+r) \leq \frac{2\cdot 2^n}{2cn}\log_2(n+\frac{2^n}{2cn})\leq \frac{2^n}{cn}\log_2 2^n=\frac{2^n}{c} \Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow K_{n,r} \leq 2^{\frac{2^n}{c}} \Rightarrow \exists \; f_n: r\gt \frac{2^n}{2cn} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, количество линейных программ длины [math]\leq \frac{2^n}{2cn}[/math] не больше [math]2^{\frac{2^n}{c}}[/math]

Возвращение к теореме о нижней оценке

[math]|F_g| \leq 2^{\frac{2^n}{c}} \Rightarrow \frac{|F_g|}{2^{2^n}} \leq \frac{2^\frac{2^n}{c}}{2^{2^n}} = 2^{2^n (\overset{\lt 0}{\frac{1}{c}-1})}\rightarrow 0[/math]

См. также

• Определение булевой функции
• Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов
• Представление булевых функций линейными программами