Расширения полей

Эта статья находится в разработке!

Определение:

[math] K \subset F[/math], F называется расширением K (если [math][F : K][/math] - конечна, то F - конечное расширение поля K)

Определение:

Степенью расширения называется величина [math][F:K][/math]

Утверждение:

[math]A \subset K \subset F \Rightarrow [F:A] = [K:A] \cdot [F:K][/math]

[math]K \subset F, \alpha \in F[/math], рассмотрим [math]K(\alpha)[/math] — наименьшее подполе [math]F[/math], которое содержит [math]K[/math] и [math]\alpha[/math] (пересечение всех таких подполей содержится в [math]K[/math] и [math]\alpha [/math] [math]\Rightarrow[/math] получается тоже подполе (замкнутое относительно операций сложения, умножения и обратно).
Все возможные записи с [math]K[/math] и [math]\alpha[/math] образуют поле [math]K(\alpha)[/math] : [math]\frac{(K_1+\alpha)^7}{\alpha + K_2}[/math] и т.п.
Если [math]\alpha \in K \Rightarrow K(\alpha)=K, K \subset K(\alpha) \subset F, K(\alpha)[/math] — расширение поля [math]K[/math]. (простое расширение — присоединение одного элемента).
[math]K \subset K(\alpha) [/math]

1. [math]\exists f \in K[x] \colon f(\alpha) = 0[/math] — простое алгебраическое
2. [math]\nexists f[/math] — простое трансцендентное
3. [math]K(\alpha) \cong K(x) = \left\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p(x),q(x) \in K[x] \right\}[/math]