Алгебра графов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
−
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
−
|+
 
−
|-align="center"
 
−
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
−
|-style="font-size: 16px;"
 
−
|
 
−
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
−
 
−
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
−
 
−
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
−
 
−
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
−
 
−
''Антивоенный комитет России''
 
−
|-style="font-size: 16px;"
 
−
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
−
|-style="font-size: 16px;"
 
−
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
−
|}
 
−
 
 
'''Алгебра графов''' (англ. ''algebra of graphs'')  {{---}} способ построить на пространстве [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы | ориентированных графов]] алгебраическую структуру. Впервые такая возможность была продемонстрирована McNulty и George F. в 1983 году.<ref>[https://www.researchgate.net/publication/225490641_Inherently_nonfinitely_based_finite_algebras  McNulty, George F.; Shallon, Caroline R. (1983) {{---}} "Inherently nonfinitely based finite algebras", Universal algebra and lattice theory (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., 1004, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 206–231.]</ref>
 
'''Алгебра графов''' (англ. ''algebra of graphs'')  {{---}} способ построить на пространстве [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы | ориентированных графов]] алгебраическую структуру. Впервые такая возможность была продемонстрирована McNulty и George F. в 1983 году.<ref>[https://www.researchgate.net/publication/225490641_Inherently_nonfinitely_based_finite_algebras  McNulty, George F.; Shallon, Caroline R. (1983) {{---}} "Inherently nonfinitely based finite algebras", Universal algebra and lattice theory (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., 1004, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 206–231.]</ref>
 
== Основные определения ==
 
== Основные определения ==
Строка 28: Строка 7:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
'''Одиночный граф''' (англ. ''single graph'') {{---}} [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] состоящий из одной вершины. Здесь и далее  для удобства будем обозначать и одиночный граф и множество его вершин одной буквой. Например, <tex> a = \{a, \varnothing \}</tex> {{---}} граф содержащий толко одну вершину <tex>a</tex>.
+
'''Одиночный граф''' (англ. ''single graph'') {{---}} [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] состоящий из одной вершины. Здесь и далее  для удобства будем обозначать и одиночный граф и множество его вершин одной буквой. Например, <tex> a = \{a, \varnothing \}</tex> {{---}} граф содержащий толко одну вершину <tex>a</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 108: Строка 87:
 
Построенная нами алгебраическая структура очень полезна для использования в функциональных языках программирования. До введения понятия алгебры графов работа с ними в функциональных языках была очень неудобна и часто порождало ошибки.
 
Построенная нами алгебраическая структура очень полезна для использования в функциональных языках программирования. До введения понятия алгебры графов работа с ними в функциональных языках была очень неудобна и часто порождало ошибки.
  
−
Дело в том, что способ представления в виде списка смежности либо матрицы смежности, широко используемых в императивных программах, оказался очень тяжело применим в функциональной среде. Компилятор при представлении графа в виде списка не может проверить, ни его корректность в принципе, ни корректность совершения некоторой операции над ним. Но если представить граф в виде последовательности операций из простейших графов, то почти все проблемы, связанные с построением графа и проверкой его корректности, устраняются.  
+
Дело в том, что способ представления в виде списка смежности либо матрицы смежности, широко используемых в императивных программах, оказался очень тяжело применим в функциональной среде.  Компилятор при представлении графа в виде списка не может проверить, ни его корректность в принципе, ни корректность совершения некоторой операции над ним. Но если представить граф в виде последовательности операций из простейших графов, то почти все проблемы, связанные с построением графа и проверкой его корректности, устраняются.  
  
 
Подробная реализация на языке <tex>\mathrm{Haskell}</tex><ref>[https://blogs.ncl.ac.uk/andreymokhov/an-algebra-of-graphs/ An algebra of graphs {{---}} "no time" Andrey Mokhov's blog]</ref>.
 
Подробная реализация на языке <tex>\mathrm{Haskell}</tex><ref>[https://blogs.ncl.ac.uk/andreymokhov/an-algebra-of-graphs/ An algebra of graphs {{---}} "no time" Andrey Mokhov's blog]</ref>.

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Алгебра графов (англ. algebra of graphs) — способ построить на пространстве ориентированных графов алгебраическую структуру. Впервые такая возможность была продемонстрирована McNulty и George F. в 1983 году.[1]

Основные определения

Определение:
Пустой граф (англ. empty graph) — граф в котором нет вершин и ребер. Здесь и далее будем обозначать его как [math]\varepsilon[/math]. То есть [math]\varepsilon = \{\varnothing, \varnothing\}[/math].


Определение:
Одиночный граф (англ. single graph) — граф состоящий из одной вершины. Здесь и далее для удобства будем обозначать и одиночный граф и множество его вершин одной буквой. Например, [math] a = \{a, \varnothing \}[/math] — граф содержащий толко одну вершину [math]a[/math].


Определение:
Алгеброй графов (англ. algebra of graphs) называется множество ориентированных графов с двумя определенными на нем операциями.

Пусть [math]G_1 = \{V_1, E_1\}[/math] и [math]G_2 = \{V_2, E_2\}[/math]. Тогда [math]\forall G_1, G_2[/math]

  • Сложение (англ. overlay): [math]G_1 + G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2\}[/math]
  • Соединение (англ. connect): [math] G_1 \rightarrow G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2\}[/math]


Cвойства операций

Данные операции обладают следующими свойствами очевидными из определения.

Сложение

  • Наличие нейтрального элемента
Утверждение:
[math]G + \varepsilon = G[/math]
  • Коммутативность:
Утверждение:
[math]G_1 + G_2 = G_2 + G_1[/math]
  • Aссоциативность:
Утверждение:
[math]G_1 + (G_2 + G_3) = (G_1 + G_2) + G_3[/math]

Соединение

  • Наличие левого и правого нейтральных элементов:
Утверждение:
[math]\varepsilon \rightarrow G = G \\G \rightarrow \varepsilon = G[/math]
  • Ассоциативность:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3)) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

Правая часть:

[math](G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3 = ((V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2)) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Другие свойства

  • Левая и правая дистрибутивность:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = G_1 \rightarrow G_2 + G_1\rightarrow G_3 \\ (G_1 + G_2) \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) + (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3)[/math]

Правая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3))[/math]

Правая дистрибутивность доказывается аналогично.
[math]\triangleleft[/math]
  • Декомпозиция:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

Правая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) + (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) + (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
Любой граф [math]G = \{V, E\}[/math] можно представить в виде композиции сложений и соединений.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, [math]G = \sum_{(u, v\in V)}u \rightarrow v[/math], где [math]\sum[/math] это послeдовательное применение операции сложения графов.
[math]\triangleleft[/math]

Построение графов в функциональных языках

Построенная нами алгебраическая структура очень полезна для использования в функциональных языках программирования. До введения понятия алгебры графов работа с ними в функциональных языках была очень неудобна и часто порождало ошибки.

Дело в том, что способ представления в виде списка смежности либо матрицы смежности, широко используемых в императивных программах, оказался очень тяжело применим в функциональной среде.  Компилятор при представлении графа в виде списка не может проверить, ни его корректность в принципе, ни корректность совершения некоторой операции над ним. Но если представить граф в виде последовательности операций из простейших графов, то почти все проблемы, связанные с построением графа и проверкой его корректности, устраняются.

Подробная реализация на языке [math]\mathrm{Haskell}[/math][2].

См. также

Примечания

  1. ↑ McNulty, George F.; Shallon, Caroline R. (1983) — "Inherently nonfinitely based finite algebras", Universal algebra and lattice theory (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., 1004, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 206–231.
  2. ↑ An algebra of graphs — "no time" Andrey Mokhov's blog

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Алгебра_графов&oldid=85007»