Фибоначчиева куча

Фибоначчиевы деревья

Определение:

Фибоначчиево дерево - биномиальное дерево, где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.

Лемма:

Фибоначчиево дерево ранга [math] k [/math] содержит не менее [math] F_k [/math] ([math] k [/math] число Фибоначчи) вершин

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для рангов 0 и 1 соответствующие деревья содержат 1 вершину, [math] F_0 \ge 1, F_1 \ge 1 [/math]. Рассмотрим дерево ранга [math] k [/math] Оно в худшем случае (удален ребенок ранка [math] k - 1 [/math]) содержит [math] 1 + F_1 + F_2 + ... + F_{k-2} [/math] вершин. Эта сумма, в свою очередь, равна [math] F_k [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Поскольку [math] F_k = \Omega(\varphi^k) [/math], где [math] \varphi = \frac {1 + \sqrt 5}2 [/math], то высота фибоначчиева дерева есть [math] O(logN) [/math].

Каждая вершина [math] x [/math] знает своего родителя ([math] p[x] [/math]) и какого-нибудь своего ребенка([math] child[x] [/math]).

Дети любой вершины связаны в циклический двусвязный список. Такие списки удобны по двум причинам: из такого списка можно удалить вершину, и два таких списка можно связать в один за [math] O(1) [/math]

Также в любой вершине хранятся поля [math] degree[x], \, mark[x] [/math]: степень вершины(число ее детей) и пометка о том, потеряла ли вершина [math] x [/math] ребенка после того, как она в последний раз сделалась чьим-либо потомком.

Фибоначчиевы кучи

Определение:

Фибоначчиева куча - набор фибоначчиевых деревьев.

Фибоначчиевы кучи являются сливаемыми(mergeable) кучами.

Корни фибоначчиевых деревьев, составляющих фибоначчиеву кучу, также объединены в двусвязный циклический список(корневой список, root list).

Доступ к куче осуществляется с помощью указателя [math] min[H] [/math], указывающего на минимальную вершину в куче.

Доказательство времени работы для всех операций с фибоначчиевыми кучами проводим с помощью методов амортизационного анализа.

Операции

Потенциал

Введем потенциал фибоначчиевой кучи [math] \Phi(H) [/math], как количество элементов в корневом списке прибавить удвоенное количество вершин с [math] mark[x] == true [/math]. На языке метода предоплаты это выглядит следующим образом: возле каждого корня лежит одна монета, а возле каждой вершины, у которой удалили ребенка, лежит две монеты.

Make_heap

Создается новый пустой корневой список, в [math] min[H] [/math] устанавливается значение [math] null [/math]. Реальное время работы - [math] O(1) [/math].

Merge

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы - [math] O(1) [/math]. Амортизированное время работы - также [math] O(1) [/math], поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы суммируются и не изменяются, [math] \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 [/math].

Insert

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Амортизированная стоимость операции: 1 (создание кучи) + 2 (слияние куч + релаксация минимума) + 1(изменение потенциала) = 4.

Extract_min

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура Consolidate("уплотнение" кучи).

Consolidate

Данная процедура принимает кучу, и делает из нее кучу, в корневом списке которой [math] O(logN) [/math] вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев [math] A[0..D[H]] [/math], где [math] D[H] [/math] - максимальная степень вершины в текущем корневом списке.