Линейные операторы в нормированных пространствах

Определение:

Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~\mathcal{A}\colon X \to Y[/math]. [math]\mathcal{A}[/math] называется линейным оператором, если [math]\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math]

Из того факта, что [math]\mathcal{A} \left( \alpha x \right) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) \forall \alpha \in \mathbb {R} [/math], следует, что [math] \mathcal{A} \left( 0 \right) =0 [/math].

Определение:

Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math]

Определение:

Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math]

Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:

Лемма:

Непрерывность оператора в точке [math]x[/math] совпадает с его непрерывностью в точке [math]0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] \lim\limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0[/math] [math] \left \| \mathcal{A}( x + \mathcal{4} x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x \right) \right \| \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 [/math] Значит, [math]\mathcal{A} \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} \mathcal{A}(x) [/math], и [math] \mathcal{A} [/math] непрерывен в [math] x [/math] по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathcal{A}[/math] — ограничен, значит, [math] \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0[/math] [math]\left \| \mathcal{A} \left( \mathcal {4} x \right) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \| [/math] [math] \mathcal{A} \left( \mathcal {4} x \right) \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 [/math]. А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X. Пусть [math]\mathcal{A}[/math] — непрерывен на X, тогда [math] 0 = \lim \limits_{x \to 0} \mathcal{A}(x) [/math] Подставляем в определение [math]\varepsilon = 1: ~ \exists \delta \gt 0: \left \| x \right \| \le \delta[/math] и, значит, при [math]\mathcal{4}x \to 0 ~ \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le \varepsilon = 1[/math] [math]\forall x \ne 0[/math] рассмотрим [math]z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} [/math]. [math] \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} \lt \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 [/math] Но [math]\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) [/math]. Значит, [math] \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1[/math], таким образом, [math] \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|[/math] Очевидно, это верно и для [math]x = 0[/math]. [math] m = \frac2{\delta} [/math], поэтому оператор ограничен.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Нормой ограниченного оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|[/math].

При [math]x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1[/math], имеем [math]\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|[/math]

[math]\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}[/math], таким образом, [math] \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X[/math]

Норма оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:

1. [math]\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0[/math]
2. [math]\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|[/math]
3. [math]\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|[/math]

Докажем свойство 3:

Рассмотрим [math]x[/math], такой, что [math]\left \| x \right \| \le 1[/math].

[math] \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 [/math]

[math]~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z[/math]

[math]\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )[/math]

[math]\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| [/math], в частности, [math]\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n[/math]

Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай:

[math]\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k= \left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle[/math]. Тогда [math]\mathcal{A} \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) [/math]

Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, [math]\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'[/math].

[math]\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' [/math]

[math]\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k[/math] — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: [math]\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )[/math], где [math]j[/math] и [math]k[/math] пробегают от [math]n[/math] до [math]m[/math] соответственно, а [math]\mathcal{A} \overline x [/math] — результат действия л.о. [math]\mathcal{A}[/math] на точку [math]\overline x[/math] можно представить в виде произведения матрицы [math]\mathcal{A}[/math] и столбца [math]x[/math].

В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math], таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math]

Дальше, если верить моему конспекту, говорится, что, таким образом, линейный оператор, действующий из [math]\mathbb{R}^n[/math] и/или в [math]\mathbb{R}^n[/math], всегда непрерывен.

Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: [math]\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j},~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 [/math]
[math]\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|[/math]
[math]\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|[/math], и, таким образом, финальная оценка — [math]\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math]. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.
Если Л.О. действует из Н.П. X в [math]\mathbb{R}^n[/math], он называется линейным функционалом.
Рассмотрим [math]H[/math]-пространство (H — гильбертово). Фиксируем [math]y \in H[/math] и определим [math]f\left ( x \right )=\left (x,y\right)[/math]. f — линейный функционал. По неравенству Шварца [math] \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|[/math], следовательно, [math] \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|[/math].
[math]\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1[/math]. Рассмотрим [math] f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]
[math]\forall ~x_0 \in H~ \exists [/math] ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами:
1) [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math], 2) [math]\left \| f \right \| = 1[/math]