Теоретический минимум(2 семестр) — различия между версиями
(Новая страница: «1) Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обоз…») |
|||
Строка 30: | Строка 30: | ||
Пусть <tex> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f </tex> на <tex> [a; b] </tex>. Тогда <tex> f </tex> тоже интегрируема, и | Пусть <tex> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f </tex> на <tex> [a; b] </tex>. Тогда <tex> f </tex> тоже интегрируема, и | ||
<tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>. | <tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>. | ||
+ | |||
+ | 8) | ||
+ | Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится. | ||
+ | Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и | ||
+ | <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется : | ||
+ | |||
+ | <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>. | ||
+ | |||
+ | 9) | ||
+ | Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится. | ||
+ | Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится. |
Версия 23:48, 11 июня 2011
1) Ряд
имеет сумму по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если .2) Пусть дан ряд
и (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму по методу Абеля, если .3)
(с.а) (А).4)
(с.а.) Тогда, если существует такое , что , то .5) Пусть на
задан функциональный ряд . Тогда он равномерно сходится к , если5)
, , , — сходится. Тогда равномерно сходится на .6) Пусть на множестве
заданы функции , — предельная точка этого множества и . Тогда если - равномерно сходится на , то выполняется равенство :7) Пусть
интегрируема и равномерно сходится к на . Тогда тоже интегрируема, и .8) Пусть на
задан функциональный ряд , - сходится. Пусть также - непрерывна на и - равномерно сходится на , тогда на выполняется :.
9) Пусть для некоторого
— сходится. Тогда ряд сходится.