Изменения

Докажем теперь, что <tex>\exists x_{1}</tex> такой, что <tex>P(A(E_{i}(x_{1})) = 1) \ge 0,5</tex>. Так как каждая шифрующая функция <tex>E_{i}</tex> биективна, а <tex>|S| \le 2^{n}</tex>, то <tex>\sum \limits limits_{x } A(E_{i}(x)) \ge 2^{m} - 2^{n}</tex> для любого <tex>i</tex>. Тогда <tex>\sum \limits limits_{i } \sum \limits limits_{x } A(E_{i}(x)) = <tex>\sum \limits limits_{x } \sum \limits limits_{i } A(E_{i}(x)) \ge 2^{n} (2^{m} - 2^{n})</tex>. Из этого неравенства следует, что не может быть для любого <tex>x</tex>: <tex>\sum \limits limits_{i } A(E_{i}(x)) < 2^{n} (1 - 2^{n-m})</tex>. Следовательно, <tex>\exists x_{1}</tex> такой, что <tex>\sum \limits limits_{i } A(E_{i}(x_{1})) \ge 2^{n} (1 - 2^{n-m}) \ge 2^{n-1}</tex>, а вероятность по всем <tex>i \in \{0,1\}^{n}</tex> <tex>P(A(E_{i}(x_{1}))= 1) \ge 0,5</tex>.