Изменения

<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^-</tex>

<tex> f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \ge > 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>

Из измеримости следует, что <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex> - также измеримы. Также они неотрицательны.

<tex> f = f_+ - f_- |f| = f_+ + f_- </tex>

\int\limits_E <tex> |f| = f_+, \iny\limits_E + f_- — определены в пределах f.</tex>

f суммируема на E, если на нём суммируемы <tex> \int\limits_E f_+ и , \int\limits_E f_- </tex> — определены в пределах <tex> f. </tex>

\int\limits_E <tex> f =(def) \int\limits_E </tex> суммируема на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_+ - \int\limits_E </tex> и <tex> f_-</tex>

Линейность: <tex> \int\limits_E |f| = (def) \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_-|\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f|</tex>

Заметим, что по линейности <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_{++ \int\limits_E f_-} </tex>. Тогда <tex> |\int\le |limits_E f|. \le \int\limits_E f_{++ \int\limits_E f_-} — суммируема, так как суммируем модуль.= \int\limits_E |f| </tex>

Получаем: если Так как <tex> f_{+-} \le |f — | </tex>, то их суммируемости модуля вытекает суммируемость <tex> f_{+-} </tex>. Как следствие определения, получаем, что <tex> f </tex> суммируематогда и только тогда, то когда <tex> |f| — </tex> суммируема. То есть, то есть в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Интеграл Дирихле: <tex> \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 </tex> — по Риману, но по Лебегу она не суммируема. Так как \int\limits_E определен линейной формулой, то переносятся \sigma-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для f_+, f_- и сложить.  Абсолютная непрерывность:Теорема — пусть f — суммируема на E. Тогда \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left{{TODO| \int\limits_A f \right| < \varepsilon Док-во: \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| \Rightarrow  Достаточно рассмотреть неотрицательные функции.t=какого?}}

f — суммируема и неотрицательна. Так как <tex> \int\limits_E f < /tex> определен линейной формулой, то переносятся <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для <tex> f_+ \infty, f_- </tex> и сложить.

== Абсолютная непрерывность =={{Теорема|about=Абсолютная непрерывность|statement=Пусть <tex> f </tex> — суммируема на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists хорошее e_{\varepsilon} delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_E limits_A f - \right| < \varepsilon </tex>|proof=<tex> \left| \int\limits_{e_{limits_A f \right| \le \int\varepsilon}} limits_A |f | < \varepsilon/tex>, то есть достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

<tex> f </tex> — суммируема и неотрицательна. <tex> \overline{e_{int\varepsilon}} = E limits_E f < + \ {e_{\varepsilon}}infty </tex>.

По определению, <tex> \forall \varepsilon \exists </tex> хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}}</tex>

<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty, |f</tex> (xтак как разбиение — хорошее)| \le M_{\varepsilon}.

<tex> |f(x)| \forall B le M_{\subset E, \mu B varepsilon} < \infty /tex> (так как f — ограничена).

B = <tex> \forall B \cap subset E = , \mu B < \ cap (\overline{e_{\varepsilon}} \ cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2infty </tex>

<tex> B = B \int\limits_B f cap E = B \intcap (\limits_overline{B_1e_{\varepsilon}} f + \intcup e_{\limits_{B_2varepsilon} f ) = B_1 \le {{TODO|t=ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ В КОНСПЕКТАХ}}cup B_2 </tex>

Итак <tex> \forall B int\subset E, limits_B f = \mu B < int\limits_{B_1} f + \infty:int\limits_{B_2} f \le </tex> {{TODO|t=ПШШШШШ}}

Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon</tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B \le < \varepsilon</tex>. Тогда <tex> \mu B \le < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta</tex>. Тогда получается, то для таких <tex> B \int\limits_B f \le < 2 \varepsilon</tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}}</tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon</tex>.}}