Изменения
Нет описания правки
==Теорема==
{{ Теорема
| about = Лаутеман| statement = [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга | <tex>\mathrm{BPP} </tex>]] <tex>\subset </tex> [[Классы PH, Σ и Π | <tex>\mathrm{\Sigma_2 } \cap \mathrm{\Pi_2}</tex>]]
| proof =
Рассмотрим язык <tex>G = \{0, 1\}^t</tex> для некоторого <tex>t</tex>. Определим операцию <tex>\oplus</tex> над словами из этого языка как побитовое исключающее или.
Назовем <tex>X</tex>, содержащееся в <tex>G</tex>, <tex>k</tex>-большим, если существует такой набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k}\subset G</tex> такой, что <tex>\bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X = G</tex>. Иначе будем называть <tex>X</tex> — <tex>k</tex>-маленьким.
Если <tex>|X| < \frac{2^t}{k}</tex>, то <tex>X</tex> является <tex>k</tex>-маленьким. Найдем достаточное условие, при котором <tex>X</tex> является <tex>k</tex>-большим.
Воспользуемся утверждением, что если вероятность <tex>P(x \in A) > 0</tex>, то существует <tex>x</tex> из <tex>A</tex>. Для этого
выберем случайно набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k}\subset G</tex>.
<tex>P(\bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X \not = G) = P(\exists y \not \in \bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X) = P(\bigvee\limits_{i=1}^{2^t} y_i \not \in \bigcup\limits_{j=1}^{k} g_j \oplus X) \leqslant 2^t P(y \not \in \bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X) = 2^t P(\bigwedge\limits_{i=1}^{k} y \oplus g_i \not \in X) = 2^t \left(P(y \not \in X)\right)^k = 2^t \left(1 - \frac{|X|}{2^t}\right)^k</tex>.
Если <tex>2^t\left(1 - \frac{|X|}{2^t}\right)^k < 1</tex>, то существует такой набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k}\subset G</tex>, такой что <tex>\bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X = G</tex>, то есть <tex>X</tex> — <tex>k</tex>-большое.
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{BPP}</tex>. Существует Из того, что <tex>\mathrm{BPP} = </tex> [[Классы BPPweak и BPPstrong | <tex>\mathrm{BPP_{strong}}</tex>]] следует, что существует [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга | вероятностная машина Тьюринга ]] <tex>M</tex>, такая что <tex>P(M(x) = [x \in L]) \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}}</tex>, где <tex>p(n)</tex> некоторый полином, который будет определен позднее. Пусть <tex>M</tex> использует <tex>r(n)</tex> бит случайной ленты.
Зафиксируем <tex>x</tex>. Возьмем <tex>G = \{0, 1\}^{r(n)}</tex>. Рассмотрим множество <tex>A_x = \{r \in G \bigm| M(x,r) = 1\}</tex>. Подберем теперь <tex>p(n)</tex> и <tex>k</tex> так, чтобы <tex>x \in L \Leftrightarrow A_x</tex> — <tex>k</tex>-большое.
Если <tex>x \in L</tex>, то <tex>P(A_x) = \frac{|A_x|}{2^{r(n)}} \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \Rightarrow |A_x| \geqslant 2^{r(n)} \left( 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \right)</tex>. Потребуем Значит <tex>2^{r(n)} \left( 1 - \frac{|A_x|}{2^{r(n)}} \right)^k \leqslant 2^{r(n) - kp(n)} < 1</tex>, чтобы . Чтобы в этом случае <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-большимпотребуем <tex>2^{r(n) - kp(n)} < 1</tex>.
Если <tex>x \not \in L</tex>, то <tex>P(A_x) = \frac{|A_x|}{2^{r(n)}} \leqslant \frac{1}{2^{p(n)}} \Rightarrow |A_x| \leqslant 2^{r(n) - p(n)}</tex>. Потребуем Чтобы в этом случае <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-маленьким потребуем <tex>2^{r(n) - p(n)} < \frac{2^{r(n)}}{k}</tex>, чтобы <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-маленьким.
Выберем <tex>p(n)</tex> так, чтобы <tex>\frac{r(n)}{p(n)} < 2^{p(n)} - 2</tex> и <tex>k = \lceil \frac{r(n)}{p(n)} \rceil + 1</tex>. Получаем <tex>\frac{r(n)}{p(n)} < k < 2^{p(n)}</tex>, то есть <tex>x \in L \Leftrightarrow A_x</tex> <tex>k</tex>-большое.
Таким образом, <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex> <tex>\forall y \in G</tex> <tex>\bigvee\limits_{i=1}^{k} y \in g_i \oplus A_x</tex>, то есть <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex> <tex>\forall y \in G</tex> <tex>\bigvee\limits_{i=1}^{k} y \oplus g_i \in A_x</tex>, то есть<tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex> <tex>\forall y \in G</tex> <tex>\bigvee\limits_{i=1}^{k} M(x, y \oplus g_i)</tex>,а, значит, <tex>L \in \Sigma_2</tex>, <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2}</tex> и <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2 } \cap \mathrm{\Pi_2}</tex>.
}}
