1679
правок
Изменения
→Теорема 1
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\Longrightarrow</tex>:
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>. , причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.
