Изменения

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \operatornamewidetilde{Cl\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1}(R(A))= \varphi_0</tex>.

Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на Рассмотрим значение <tex>F: \widetilde{\varphivarphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\forall widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex>* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{ClKer}(R(A^*)): ^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.

C другой стороны, <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} Получили противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp </tex>, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.  P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть <tex>\tilde{\varphi}</tex>. Что такое <tex>Ker A^*</tex>? Это такие <tex>\varphi</tex>, что <tex>A^*\varphi = 0</tex> или, тоже самое, <tex>\varphi (Ax) = 0</tex>(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из <tex>Cl R(A)</tex>. Наша функция <tex>\tilde{\varphi}</tex> как раз имеет такое свойство, то есть <tex>\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}</tex>. Теперь заметим, что <tex>\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)</tex>(y - которое мы рассматриваем сначала), но <tex>y \in (Ker A^*)^\perp</tex>(т.е. должен давать 0 на элементах <tex>Ker A^*</tex> в т.ч. и на <tex>\tilde{\varphi}</tex>). Противоречие