497
правок
Изменения
Нет описания правки
Каждое внутреннее ребро области <tex>R</tex> входит в границы двух внутренних граней области <tex>R</tex>, а каждое ребро цикла <tex>C</tex> {{---}} в границу одной внутренней грани этой области. Аналогичное соотношение верно и для <tex>R'</tex>. Следовательно,
(2) <math>\sum\limits_{i=3}^{V(G)}i*\cdot k_i=2e+E(C)</math>, <math>\sum\limits_{i=3}^{V(G)}i*\cdot k'_i=2e'+E(C)</math>
Из соотношений (1) и (2) получаем:
<math>\sum\limits_{i=3}^{V(G)}i(k_i-k'_i)=2(e - e')=\sum\limits_{i=3}^{V(G)}2(k_i-k'_i)</math>
откуда немедленно следует доказываемое утверждение.
Используя свою теорему, Гринберг построил трёхсвязный кубический плоский граф, в котором ровно одна грань имеет <tex>9</tex> рёбер, а все остальные {{---}} по <tex>5</tex> или <tex>8</tex> рёбер.
Левая часть соотношения <math>\sum\limits_{i=3}^{V(G)}(i-2)(k_i-k'_i)=0</math> в таком графе, очевидно, не делится на <tex>3</tex>, так как сравнима по модулю <tex>3</tex> с <tex>(9 - 2)(k_9 − - k'_9) = 7</tex>.
[[Файл: Grinberg_Graph_numbers.png|300px|thumb|left|Граф Гринберга. Проставлено количество ребер в гранях.]]
