Изменения

# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.

# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.

# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо множества $P$.

# Приведите пример невычислимого предела сходящейся (но не вычислимо) последовательности вычислимых чисел

# Приведите пример невычислимого предела вычислимо сходящейся (но не вычислимой) последовательности вычислимых чисел