Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков) — различия между версиями
Строка 41: | Строка 41: | ||
Теперь нетрудно задать регулярное выражение для всего языка: | Теперь нетрудно задать регулярное выражение для всего языка: | ||
− | <tex>\varphi = \xi_{s{t_1}n} \mid \xi_{s{ | + | <tex>\varphi = \xi_{s{t_1}n} \mid \xi_{s{t_2}n} \mid \dots \mid \xi_{s{t_r}n}</tex>, где <tex>s</tex> - стартовое состояние, а <tex>t_1, t_2, \dots t_r</tex> - терминальные состояния исходного автомата. |
Таким образом мы построили по автомату регулярное выражение, допускающее тот же самый язык. | Таким образом мы построили по автомату регулярное выражение, допускающее тот же самый язык. | ||
}} | }} |
Версия 02:16, 20 сентября 2011
Теорема (Клини): |
Классы автоматных и регулярных языков совпадают. |
Доказательство: |
1. Для доказательства будем строить автоматы, допускающие регулярные языки. При этом будем использовать индукцию по номеру поколения регулярного языка. База. Для этого достаточно построить автоматы для трех языков:Индукционный переход. Умеем строить автоматы для языков -ого поколения. Будем строить для . Для этого достаточно научиться строить автоматы для следующих языков ( ):Заметим, что по предположению индукции автоматы для могут быть построены.Итого, мы можем по регулярному выражению построить автомат, допускающий тот же язык. 2. Для доказательства будем строить регулярное выражение, допускающее язык, заданный каким-то автоматом. Пусть задан автомат с набором состояний .Определим регулярные выражения, задающие следующие множества слов: , причем в качестве промежуточных вершин выступают только такие, у которых номер не более . Построим эти регулярные выражения:
Теперь нетрудно задать регулярное выражение для всего языка: Таким образом мы построили по автомату регулярное выражение, допускающее тот же самый язык. , где - стартовое состояние, а - терминальные состояния исходного автомата. |