Формальные грамматики

Определения

Определение:

Нетерминал — элемент, представляющий некоторую сущность языка (например, часть формулы) и не имеющий конкретного значения.

Определение:

Терминал — элемент алфавита [math]\Sigma[/math].

Определение:

Формальная грамматика — способ описания формального языка, представляющий собой четверку [math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] — алфавит, [math]N[/math] — набор нетерминалов, [math]S[/math] — начальный символ грамматики, [math]P[/math] — набор правил вывода [math]\alpha\rightarrow \beta[/math]

Определение:

[math]\beta[/math] выводится из [math]\alpha[/math] за один шаг ([math]\alpha \Rightarrow \beta[/math]): [math]\alpha=\alpha_1\alpha_2\alpha_3[/math] [math]\beta=\beta_1\beta_2\beta_3[/math] [math]\alpha_1=\beta1[/math], [math]\alpha_3=\beta3[/math], [math]\alpha_2\rightarrow\beta2 \in P[/math]

Определение:

[math]\beta[/math] выводится из [math]\alpha[/math] за ноль или более шагов ([math]\alpha \Rightarrow^* \beta[/math]): [math]\exists \gamma_1, \gamma_2,...,\gamma_n : \alpha \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n \Rightarrow \beta[/math]

Определение:

Языком грамматики называется [math]L(\Gamma) = \{\omega \in \Sigma^{*}|S \Rightarrow^{*}\omega\}[/math].

Обозначения

• Нетерминалы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
• Терминалы обозначаются строчными буквами из начала латинского алфавита.
• Последовательности из терминалов (слова) обозначают строчными буквами из конца латинского или греческого алфавита.
  
• Последовательности из терминалов и нетерминалов обозначаются строчными буквами из начала греческого алфавита.

Примеры грамматик

Правильные скобочные последовательности

[math]\Sigma = \{(, )\}[/math]
[math]\begin{array}{lcr} S \rightarrow (S)\\ S \rightarrow SS\\ S \rightarrow \epsilon \end{array} [/math]

Вывод строки [math](()())[/math]:
[math]S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow(()(S))\rightarrow(()())[/math]

Вывод строки [math]((()())(()))[/math]:
[math]S\rightarrow(S)\rightarrow(SS)\rightarrow((S)S)\rightarrow((S)(S))\rightarrow[/math]
[math]\rightarrow((SS)((S)))\rightarrow (((S)S)((S))) \rightarrow ((()S)((S)))\rightarrow[/math]
[math]\rightarrow((()(S))((S)))\rightarrow ((()())((S)))\rightarrow ((()())(()))[/math]

Арифметические выражения

[math]\Sigma = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, *, /, -, (, )\}[/math]

[math]\begin{array}{lcr} S \rightarrow S O S\\ S \rightarrow (S)\\ S \rightarrow 0\\ S \rightarrow DN\\ O \rightarrow + | - | * | /\\ D \rightarrow 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9\\ N \rightarrow NN | \epsilon\\ N \rightarrow 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 \end{array} [/math]

Вывод строки [math]2+2*2[/math]: [math]S \rightarrow SOS \rightarrow SOSOS \rightarrow 2OSOS \rightarrow 2O2OS \rightarrow 2O2O2 \rightarrow 2+2O2 \rightarrow 2+2*2[/math]

Левосторонний вывод для такой же строки: [math]S \rightarrow SOS \rightarrow 2OS \rightarrow 2+S \rightarrow 2+SOS \rightarrow 2+2OS \rightarrow 2+2*S \rightarrow 2+2*2[/math]

Литература

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)