Представление чисел с плавающей точкой — различия между версиями
(→Числа двойной точности) |
(→Свойства чисел с плавающей точкой) |
||
Строка 123: | Строка 123: | ||
# Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой. | # Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой. | ||
# Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита. | # Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита. | ||
− | # В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [ | + | # В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [2.3 \times 10^{-308}, 1.7 \times 10^{308}] </tex>. |
== Особые значение чисел с плавающей точкой == | == Особые значение чисел с плавающей точкой == |
Версия 08:15, 11 ноября 2011
Содержание
Плавающая точка
Определение: |
Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени. |
Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений. Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.
Числа двойной точности
Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):
- знак
- экспонента (показатель степени) (в виде целого числа в коде со сдвигом)
- мантисса (в нормализованной форме)
В качестве базы (основания степени) используется число
. Экспонента хранится со сдвигом .Знак | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Экспонента (11 бит) |
Мантисса (52+1 бит) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
62 | 52 | 51 | 0 |
Утверждение: |
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
|
Нормальная и нормализованная формы
Определение: |
Нормальной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале | .
Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно:
.Определение: |
Нормализованной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале | , а двоичного на полуинтервале .
Свойства чисел с плавающей точкой
- В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
- Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
- В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
- В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
- Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
- Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
- В формате double представимы числа в диапазоне .
Особые значение чисел с плавающей точкой
Ноль (со знаком)
В нормализованной форме невозможно представить ноль. Для его представления в стандарте зарезервированы специальные значения мантиссы и экспоненты.
Знак | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Экспонента | Мантисса | ||||||||||||||||
0/1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = |
Согласно стандарту выполняются следующие свойства:
- (если )
- (если )
Бесконечность (со знаком)
Для приближения ответа к правильному при переполнении, в double можно записать бесконечное значение. Так же, как и в случае с нолем, для этого используются специальные значение мантиссы и экспоненты.
Знак | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Экспонента | Мантисса | ||||||||||||||||
0/1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = |
Бесконечное значение можно получить при переполнении или при делении ненулевого числа на ноль.
Неопределенность
В математике встречается понятие неопределенности. В стандарте double предусмотрено псевдочисло, которое арифметическая операция может вернуть даже в случае ошибки.
Знак | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Экспонента | Мантисса | ||||||||||||||||
0/1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1, | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | = |
Неопределенность можно получить в нескольких случаях. Приведем некоторые из них:
- , где - любая арифметическая операция
- , где
Машинная эпсилон
Определение: |
Машинная эпсилон - наименьшее положительное число | , такое что, , где - машинное сложение.
Утверждение: |
Таким образом, компьютер не различает числа и , если . |
Утверждение: |
Из свойств чисел двойной точности следует, что для них . |
Погрешность предиката "левый поворот"
TODO: Вывести
Ссылки
en.wikipedia.org Floating point
en.wikipedia.org Double precision floating point format
Goldberg, D. 1991 What every computer scientist should know about floating-point arithmetic
ieee.org IEEE 754
neerc.ifmo.ru/mediawiki Предикат "левый поворот"