Алгоритм A*

Алгоритм А*("A star", "А звёздочка") -- информированный алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.

Эвристика

В процессе работы алгоритма для вершин используется функция [math]f(v) = g(v) + h(v)[/math], где [math]g(v)[/math] - наименьшая стоимость пути в [math]v[/math] из стартовой вершины, [math]h(v)[/math] - эвристическое приближение стоимости пути от v до конечной цели. [math]h(v)[/math] должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Например, если наш граф является некоторой картой, разбитой сеткой, то эвристику можно назначить минимальным числом перемещений из клетки в клетку. К примеру, если [math](h(v) == 0)[/math], то А* превращается в Дейкстру . Если [math]h(v)[/math] всегда меньше истинной стоимости пути до цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм. Если выйдет так, что эвристика превысила истинную стоимость, то А* будет работать быстрее, но возможно найдет не лучший путь, хотя его можно считать "хорошим" и если производительность предпочтительнее точности можно использовать такую эвристику.

Псевдокод

А* просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент похожи на наилучший, причем алгоритм учитывает путь уже пройденный до текущей вершины.

Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.

void A*(start,goal) 
{
    closed := {}; // Множество вершин расстояние до которых мы уже оценили
    open.push(start);// Очередь с приоритетом 
    f[start] = g[start] + h[start];
    parent[start] = start;
    while (open.size() != 0) 
    {
        x := open.pop(); 
        if (x == goal) 
            return succsess(x);// Кратчайший путь найден         
        closed.push(x);   
        for (y : xy in E) 
        {
            if (y in closed)      
                continue;
            tmp := g[x] + d[x,y]  // Стоимость пути до y
            if (y not in open) 
            {
                open.push(y);
                tentative_is_better = true;
            }
            else            
                if (tmp < g[y])                 
                    tentative_is_better := true   
                else
                    tentative_is_better := false  
            if (tentative_is_better == true)// 
            {
                parent[y] = x;
                g[y] = tmp;
                f[y] = g[y] + h[y];
            }
        }
    }
    return failure; // Наша цель недостижима из start
}

Доказательство оптимальности и корректности

Полное доказательство расположено здесь. Здесь приведем основные факты. Алгоритм является допустимым(корректным) если он гарантированно находит оптимальный путь из [math]S[/math] до целевой вершины. Допустимые алгоритмы могут различаться числом рассмотренных вершин и порядком просмотра вершин.

Допустимость А*

Лемма 1. Для любой незакрытой вершины [math]n[/math] и любого оптимального пути [math]P[/math] из [math]S[/math] в [math]n[/math] существует открытая вершина [math]n'[/math], лежащая на этом пути, для которой найденная стоимость пути из [math]S[/math] оптимальна.

Теорема 1. Если для любой вершины эвристика не переоценивает настоящую стоимость минимального пути до целевой вершины, то А* допустим.

Оптимальность А*

Лемма 2. Предположим, что в процессе работы А* вершина [math]n[/math] была закрыта и эвристика монотонна. Тогда вычисленный до нее путь из стартовой вершины оптимален.

Теорема 2. Пусть А допустимый алгоритм информированный не больше чем А* и эвристика допустима и монотонна.Тогда если А* рассмотрела в процессе выполнения некоторую вершину [math]n[/math], то А тоже рассмотрит эту вершину.

Ссылки

• Алгоритм_поиска_A* Википедия
• A*_search_algorithm Wikipedia
• Статья о поиске кратчайших путей и различных оптимизациях А* в частности
• Статья на ACM Digital Library