Отношение порядка — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Бинарное отношение <math>R</math> на множестве <math>X</math> называется '''отношением п...»)
 
Строка 1: Строка 1:
−
[[Бинарное отношение]] <math>R</math> на [[Множества|множестве]] <math>X</math> называется '''отношением порядка''', или '''отношением частичного порядка''', если имеют место
+
== Определения ==
−
* ''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]'': <math>\forall x (xRx)</math>
+
{{Определение
−
* ''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]'': <math>\forall x \forall y \forall z (x R y \land y R z \Rightarrow x R z)</math>;
+
|definition =
−
* ''[[Антисимметричное_отношение|Антисимметричность]]'': <math>\forall x \forall y (x R y \land y R x \Rightarrow x = y)</math>.
+
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''', если оно обладает следующими свойствами:
 +
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\forall a \in X: aRa</tex>.
 +
* [[Симметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>.
 +
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
  
−
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
+
Отношение частичного порядка также называют '''нестрогим порядком'''.
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''', если оно обладает следующими свойствами:
 +
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <tex>\forall a \in X: aRa - не выполняется</tex>.
 +
* [[Симметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>aRx</tex>, то <tex> a = b </tex>.
 +
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением линейного порядка''', если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством:
 +
<tex>\forall a \in X \forall b \in X либо aRb, либо bRa</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным'''.
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''', если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством:
 +
<tex>\exists a \in X \forall b \in X: aRb</tex>.
 +
}}
 +
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным'''.
  
−
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют ''нестрогим'', или ''рефлексивным частичным порядком'' и обычно обозначают символом <math>\leqslant</math>. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:
+
Отношение нестрогого порядка обозначают символом <tex>\leqslant</tex>. Запись вида <tex>a \leqslant b</tex> читают как "<tex>a</tex> меньше либо равно <tex>b</tex>".
−
: <math>\forall x \neg(xRx)</math>,
 
−
то получим определение ''строгого'', или ''антирефлексивного частичного порядка'', обозначаемое обычно символом <math><</math>.
 
−
В общем случае, если <math>R</math> — транзитивное, антисимметричное отношение, то
 
−
: <math>R_{\leqslant} = R \cup \{(x, x) | x \in X\}</math> — рефлексивный порядок
 
−
: <math>R_{<} = R \setminus \{(x, x) | x \in X\}</math> — антирефлексивный порядок.
 
  
−
Отношение частичного порядка <math>R</math> называется ''линейным порядком'', если выполнено условие
+
Отношение строгого порядка обозначают символом <tex><</tex>. Запись вида <tex>a < b</tex> читают как "<tex>a</tex> меньше <tex>b</tex>".
−
: <math>\forall x \forall y (x R y \lor y R x)</math>
+
−
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''', или ''цепью''.
+
== Примеры ==
 +
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
 +
* Отношение "являться делителем" на множестве целых чисел являются отношением частичного порядка.
  
−
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется '''квазипорядком''', или ''предпорядком''.
+
== Нетривиальный пример ==
 +
Можно привести не совсем тривиальный пример: <tex>a</tex> находится в отношении с <tex>b</tex>, если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex>. В качестве множества возьмём натуральные числа. Проверим свойства:
  
−
== Примеры ==
+
1) <tex> \forall a \in X:\frac{a}{a} \leqslant 1</tex>
−
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
+
 
−
* Отношение Делимость|делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.
+
2) <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{a} \leqslant 1</tex>, то <tex> a = b </tex>
 +
 
 +
3) <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>\frac{a}{b} \leqslant 1</tex> и <tex>\frac{b}{c} \leqslant 1</tex>, то <tex>\frac{a}{c} \leqslant 1</tex>
 +
 
 +
4) <tex>\forall a \in X \forall b \in X либо \frac{a}{b} \leqslant 1, либо \frac{b}{a} \leqslant 1</tex>
 +
 
 +
5) <tex>\exists a \in X \forall b \in X: \frac{a}{b} \leqslant 1</tex> - очевидно это <tex> a = 1 </tex>
 +
 
 +
Таким образом данное отношение является отношением полного порядка.
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Wikipedia: Частично упорядоченные множества]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Отношения]]

Версия 03:37, 24 ноября 2011

Определения

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка, если оно обладает следующими свойствами:

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком.

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка, если оно обладает следующими свойствами:


Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X либо aRb, либо bRa[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным.

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка, если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\exists a \in X \forall b \in X: aRb[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным.

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math]. Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как "[math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math]".

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math]. Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как "[math]a[/math] меньше [math]b[/math]".

Примеры

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
  • Отношение "являться делителем" на множестве целых чисел являются отношением частичного порядка.

Нетривиальный пример

Можно привести не совсем тривиальный пример: [math]a[/math] находится в отношении с [math]b[/math], если [math]\frac{a}{b} \leqslant 1[/math]. В качестве множества возьмём натуральные числа. Проверим свойства:

1) [math] \forall a \in X:\frac{a}{a} \leqslant 1[/math]

2) [math]\forall a, b \in X:[/math] если [math]\frac{a}{b} \leqslant 1[/math] и [math]\frac{b}{a} \leqslant 1[/math], то [math] a = b [/math]

3) [math]\forall a, b, c \in X:[/math] если [math]\frac{a}{b} \leqslant 1[/math] и [math]\frac{b}{c} \leqslant 1[/math], то [math]\frac{a}{c} \leqslant 1[/math]

4) [math]\forall a \in X \forall b \in X либо \frac{a}{b} \leqslant 1, либо \frac{b}{a} \leqslant 1[/math]

5) [math]\exists a \in X \forall b \in X: \frac{a}{b} \leqslant 1[/math] - очевидно это [math] a = 1 [/math]

Таким образом данное отношение является отношением полного порядка.

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_порядка&oldid=13421»