Разрешимые (рекурсивные) языки

Определение:

Язык [math]L[/math] называется разрешимым (рекурсивным), если существует такая программа [math] p [/math], что [math] \forall w \in L: p(w) = 1[/math], а для [math] \forall w \notin L: p(w) = 0[/math].

Примеры

Пример разрешимого множества

Утверждение:

Язык чётных чисел разрешим.

[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел: [math]p(i)[/math] if остаток от деления i на 2 = 0 return 1 else return 0 Заметим, что программа нигде не может зависнуть.

[math]\triangleleft[/math]

Пример неразрешимого множества

Определение:

Язык [math] U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} [/math] называется универсальным.

Утверждение:

Универсальный язык неразрешим.

[math]\triangleright[/math]

Доказательство от противного. Пусть язык [math] U [/math] разрешим. Тогда существует такая программа [math] u [/math], что [math] \forall \langle p, x \rangle \in U: u(\langle p, x \rangle) = 1[/math], а для [math] \forall \langle p, x \rangle \notin U: u(\langle p, x \rangle) = 0[/math]. Составим следующую программу: [math]r(x)[/math] if u(<x, x>) = 1 while true else return 1 Теперь рассмотрим вызов [math] r(r) [/math]. Если [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 [/math], то условие if выполнится и вызов зациклится. Но, [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 \Rightarrow r(r) = 1[/math]. Если [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 [/math], то условие if не выполнится и вызов вернёт [math]1[/math]. Но, [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 \Rightarrow r(r) \ne 1[/math]. Таким образом, из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.

[math]\triangleleft[/math]