Эргодическая марковская цепь — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
 
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
 
# [[Достижимое состояние|Неразложима]];
 
# [[Достижимое состояние|Неразложима]];
−
# Положительно возвратна <tex>(</tex>Возвратное состояние <math>i</math> называется положительным, если <tex> \mathbb{E}[T_i] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f^{(n)}_{ii} < \infty)</tex>;
+
# [[Возвратное состояние|Положительно возвратна]];
−
# Апериодична <tex>(</tex>Если <tex>d(j) = 1</tex> (где <tex>d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</tex>), то состояние <tex>j</tex> называется апериодическим<tex>)</tex>.
+
# [[Периодическое состояние|Апериодична]].
 
Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы:  
 
Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы:  
 
:<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}
 
:<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}

Версия 10:34, 22 декабря 2011

Определение:
Марковская цепь называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) [math]\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )^{\top}[/math], такое что [math]\pi_i \gt 0,\; i \in \mathbb{N}[/math] и
[math]\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, \quad \forall i=1,2, \ldots[/math].


Примеры графов переходов для цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока для состояний [math]A_2, \, A_3[/math]); b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен).

Основная теорема об эргодических распределениях

Теорема (Основная теорема об эргодических распределениях):
Пусть [math]\{X_n\}_{n \ge 0}[/math] - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей [math]P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots[/math]. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
  1. Неразложима;
  2. Положительно возвратна;
  3. Апериодична.

Эргодическое распределение [math]\mathbf{\pi}[/math] тогда является единственным решением системы:

[math]\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}[/math].


Пример

Пример эргодической цепи

Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния. Рассмотрим матрицу, следующего вида: [math]p_{ij}=0.5, i,j=1,2[/math].

Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение [math]\pi = (0.5,0.5)^{\top}[/math], такое что [math]\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2[/math].

См. также

Ссылки

Литература

Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Эргодическая_марковская_цепь&oldid=15047»