Предельный переход в классе измеримых функций

Эта статья находится в разработке!

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

1

Утверждение:

Пусть [math]E \in \mathcal{A}[/math], [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], [math]f_n[/math] — измеримо на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math] Тогда [math]f[/math] тоже измеримо на [math]E[/math].

[math]\triangleright[/math]

Выведем это из стандартного факта анализа. [math]a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}[/math] [math]f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}[/math] Обозначим [math]g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}[/math] Осталось показать, что [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math] не выводят за рамки класса измеримых: [math]E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)[/math] Аналогично [math]inf[/math]. Значит, [math]f[/math] — измерима по Лебегу

[math]\triangleleft[/math]

2

Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.

Определение:

Пусть [math]E\subset X[/math], [math]P[/math] — свойство. Если [math]E(\overline P)[/math] —нульмерно, то [math]P[/math] выполняется почти всюду на [math]E[/math]

Пример. Функция Дирихле [math]f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}[/math]

[math]g = 1[/math] на [math]\mathbb{R}[/math].

Тогда [math]f=g[/math] почти всюду на [math]\mathbb{R}[/math].

Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.

Определение:

Есть функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

Для того, чтобы придать более удобную запись [math]\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)[/math]

Считаем, что эти функции измеримы [math]\Rightarrow[/math] это множество измеримо.

Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек из [math]E[/math], [math]\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)[/math].

Достаточно вспомнить отрицание предела.

точка [math]\in[/math] левое множество : [math]\exists p_0 : x \subset \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{1}{p_0})[/math]

Значит, [math]\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0} \right) \Rightarrow n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_k \lt \cdots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0}[/math]

Аналогично в обратную сторону.

Множество точек, в которых не сходится к [math]f[/math], записывается так

[math]\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x)-f(x)| \leq \frac1p)[/math] — нульмерно, если сходится почти всюду.

Утверждение:

[math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f[/math] — измерима

[math]\triangleright[/math]

Все измерения проводим для [math]\sigma[/math]-конечных полных мер. [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] и [math]f_n[/math] — измеримо. [math]E'=E(f_n\not\to f)[/math]. [math]\mu E' = 0[/math] [math]E'' = E \setminus E'[/math] — измеримо, [math]f_n\to f[/math] всюду на [math]E''[/math]. [math]E(f\lt a)[/math], [math]E = E'' \cup E'[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]E(f\lt a) = (E(f\lt a) \cap E') \cup (E(f\lt a) \cap E'')[/math] Первое — часть нульмерного, значит, и само — нульмерно. А второе — измеримо. Значит, [math]E(f\lt a)[/math] — измеримо как объединение измеримых

[math]\triangleleft[/math]