Пространство L p(E)

Эта статья находится в разработке!

(X, \mathcal A, \mu)

E \subset \mathcal A , p \ge 1

L_p(E) = {f - измерима на E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty }, то есть пространство функций, суммируемых с pй степенью на E.

Измеримость f на E принципиальна, так как в общем случае из измеримости |f|^p не вытекает измеримость f.

E_1 - не измеримо и содержится в E.

f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} — не измеримо на E.

E(f(x) \le -1) = E_1 - нет TODO: что нет? o_O

|f(x)| = 1 на E — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Проверим, что L_p(E) — измеримое множество.

\int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p < + \infty — следует ли \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p < + \infty.

Достаточно доказать, что \int\limits_E |f + g|^p < + \infty.

|f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p

E_1 = E(|f| \le |g|), E_2 = E(|f| > |g|), E = E_1 \cup E_2

\int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty , что и требовалось доказать.

Превратим L_p(E) в нормированное пространство:

||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p}

||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 — отождествление функции, совпадают почти всюду.

Свойства интеграла:

||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p

||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p

{\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} — неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.

uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1 — неравенство Юнга.

Подставим u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p}:

\frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q}

Интегрируем это неравенство по E.

Так как \frac{|f|^p}{||f||_p^p}(аналогично, g и q), равны 1, получаем:

\int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q — неравенство Гёльдера.

\int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_E (|f| + |g|)^{p-1} |f| + \int\limits_E (|f| + |g|)^{p-1} |g| \le {\left( \int\limits_E |f|^p \right)} ^{1/p} {\left( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF} \right)}^{\frac1q} + \dots

q = \frac{p}{p-1}, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

Значит, || ||_p — норма, L_p(E) — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.