NP-полнота задачи о независимом множестве — различия между версиями
(создание странички) |
м |
||
| Строка 10: | Строка 10: | ||
Пусть задана булева формула в <math>3-SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\overline{x}</math>. | Пусть задана булева формула в <math>3-SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\overline{x}</math>. | ||
| − | <math>(\overline{x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{z}) \to</math>[[Файл: | + | <math>(\overline{x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{z}) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]] |
Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “правда”. Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Выбранное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки) и пары вершин, которым советуют пары переменных вида <math>x,\overline{x}</math>, которые не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время. | Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “правда”. Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Выбранное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки) и пары вершин, которым советуют пары переменных вида <math>x,\overline{x}</math>, которые не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время. | ||
| + | |||
===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP=== | ===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP=== | ||
В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым. | В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым. | ||
Версия 18:49, 13 марта 2010
Содержание
Формулировка
Пусть задан неориентированный граф и натуральное число . Задача о независимом множестве(IND) решает вопрос о том, содержит ли граф подграф размером , никакая пара вершин в котором не соединена ребром.
Доказательство NP-полноты
Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
Задача о независимом множестве является NP-трудной
Для доказательства этого сведем задачу к нашей:
Пусть задана булева формула в , в которой скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. Так же соединим ребрами пары вершин вида .
Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “правда”. Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Выбранное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки) и пары вершин, которым советуют пары переменных вида , которые не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть в графе есть независимое множество, размера . Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
Задача о независимом множестве принадлежит классу NP
В качестве сертификата возьмем набор из вершин. За время можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.
