Предельный переход в классе измеримых функций — различия между версиями
Sementry (обсуждение | вклад) м |
Smolcoder (обсуждение | вклад) (→1) |
||
Строка 10: | Строка 10: | ||
Выведем это из стандартного факта анализа. | Выведем это из стандартного факта анализа. | ||
− | <tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \ | + | <tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Leftrightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex> |
+ | Но нас интересует следствие только в прямую сторону. | ||
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex> | <tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex> |
Версия 00:47, 8 января 2012
Эта статья находится в разработке!
<<>>
1
Утверждение: |
Пусть измеримо, , — измеримо на ,
Тогда тоже измеримо на . |
Выведем это из стандартного факта анализа. Но нас интересует следствие только в прямую сторону.
Обозначим Осталось показать, что и не выводят за рамки класса измеримых:Аналогично . Значит, — измерима по Лебегу |
2
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.
Определение: |
Пусть | , — свойство. Если —нульмерно, то выполняется почти всюду на
Пример. Функция Дирихле
на .
Тогда
почти всюду на .Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.
Определение: |
Пусть заданы функции | на , . Если , то почти всюду на .
Для того, чтобы придать более удобную запись множеству , рассмотрим множество
.
Считаем, что функции
измеримы, поэтому множество тоже измеримо.Легко проверить, что оно совпадает с множеством точек
из , таких, что , достаточно вспомнить отрицание предела:Если точка принадлежит
, то .Значит,
, то есть,, и .
Аналогично — в обратную сторону.
Значит, сходимость
к почти всюду равносильна нульмерности .Утверждение: |
Пусть — измеримо, почти всюду на . Тогда — измерима. |
Напоминаем, все действия мы проводим для -конечных полных мер.. — измеримо, всюду на . Рассмотрим , .Первое множество — часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо. Значит, измеримо как объединение измеримых. |