Алгоритм A*

Алгоритм А*("A star", "А звёздочка") — алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.

Описание

В процессе работы алгоритма для вершин рассчитывается функция [math]f(v) = g(v) + h(v)[/math], где

• [math]g(v)[/math] — наименьшая стоимость пути в [math]v[/math] из стартовой вершины,
• [math]h(v)[/math] — эвристическое приближение стоимости пути от [math]v[/math] до конечной цели. [math]h(v)[/math] должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели.

Чем меньше , тем раньше вершина будет открыта и исследована алгоритмом. Таким образом открытые алгоритмом вершины хранятся в очереди с приоритетом по значению [math]f(v)[/math]. А* действует подобно алгоритму Дейкстры и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими.

Поведение алгоритма сильно зависит от того, какая эвристика используется. В свою очередь, выбор эвристики зависит

Пример А* на сетке с возможностью ходить в восьми напрвлениях

от постановки задачи. Часто А* используется для моделирования перемещения по поверхности, покрытой координатной сеткой.

• Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние
  [math]h(v) = |{v.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|[/math].

• Расстояние Чебышева применяется когда к четырем направлениям добавляются диагонали:
  [math]h(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}[/math].

• Если передвижение не ограниченно сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой:
  [math]h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}[/math].

Также стоит обратить внимание на то как соотносятся [math]f(v)[/math] и [math]h(v)[/math]. Если они измеряются в разных величинах (например, [math]g(v)[/math] — это расстояние в километрах, а [math]h(v)[/math] — оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат.

Псевдокод

Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.

void A*(start,goal) 
{
    closed := {}; // Множество вершин расстояние до которых мы уже оценили
    open.push(start);// Очередь с приоритетом 
    f[start] = g[start] + h[start];
    parent[start] = start;
    while (open.size() != 0) 
    {
        x := open.pop(); 
        if (x == goal) 
            return succsess(x);// Кратчайший путь найден         
        closed.push(x);   
        for (y : xy in E) 
        {
            if (y in closed)      
                continue;
            tmp := g[x] + d[x,y]  // Стоимость пути до y через х
            if (y not in open) 
            {
                open.push(y);
                tentative_is_better = true;
            }
            else            
                if (tmp < g[y]) // можно улучшить расстояние до y                
                    tentative_is_better = true   
                else
                    tentative_is_better = false  
            if (tentative_is_better == true) // найден новый, более короткий путь до y
            {                              
                parent[y] = x;
                g[y] = tmp;
                f[y] = g[y] + h[y];
            }
        }
    }
    return failure; // Наша цель недостижима из start
}

Свойства

Корректность

Если [math]h(v)[/math] всегда меньше либо равна истинной стоимости пути до цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм.

Оптимальность

Любой другой алгоритм, использующий ту же эвристическую функцию [math]h(v)[/math], рассмотрит не меньше вершин, чем А*.

Ссылки

• Википедия:Алгоритм_поиска_A*
• Wikipedia:A*_search_algorithm
• Статья о поиске кратчайших путей
• Generalized best-first search strategies and the optimality of A*