|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Линейность ==
| + | Материал перенесён в [[Математическое ожидание случайной величины]], эту страницу нужно удалить --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 08:45, 13 января 2012 (MSK) |
| − | | + | [[Категория:Удалить]] |
| − | {{Теорема
| |
| − | |statement=
| |
| − | Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно. | |
| − | |proof=
| |
| − | 1. <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
| |
| − | | |
| − | 2. <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> — действительное число
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==Использование линейности==
| |
| − | Рассмотрим два примера
| |
| − | ===Пример 1===
| |
| − | Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex> \xi </tex> — случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а <tex> \eta </tex> — возвращает второе число.
| |
| − | Очевидно, что <tex> E(\xi)= E(\eta)</tex>.
| |
| − | Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
| |
| − | | |
| − | Получаем ответ
| |
| − | <tex>E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6</tex>
| |
| − | | |
| − | ===Пример 2===
| |
| − | Пусть у нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> — совпал ли у строк <tex> i </tex>-тый символ.
| |
| − | Найдем математическое ожидание этой величины
| |
| − | <tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> — <tex>i</tex>тые символы соответствующих строк.
| |
| − | Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}</tex>.
| |
| − | | |
| − | Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} </tex>
| |
