|
|
| Строка 395: |
Строка 395: |
| | | | |
| | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] |
| | + | |
| | + | [[Категория: Алгоритмы сжатия ]] |
Версия 23:25, 16 января 2012
Описание
Здесь представлен алгоритм, обратный алгоритму преобразования Барроуза-Уиллера. На вход алгоритму подается шифр строки [math] s [/math], зашифрованный методом Барроуза-Уиллера, и номер исходной строки в отсортированной матрице, полученной в конце преобразования. Обратное преобразование возвращает исходную строку [math] s [/math].
Наивная реализация
Суть алгоритма
Если отсортировать символы последнего столбца матрицы перестановок — а перед началом обратного преобразования нам известен только он — то мы получим первый столбец данной матрицы, так как строки матрицы были отсортированы в лексикографическом порядке.
Известно, что символы последнего столбца предшествуют символам первого, находящимся в той же строке, поскольку использовался циклический сдвиг. Таким образом, мы имеем уже список пар, состоящих из символа последнего столбца и следующего за ним символа первого столбца. После сортировки этих пар мы получаем информацию о двух первых столбцах матрицы. И так далее, пока мы не получим всю матрицу перестановок, на каждом шаге новый префикс получается в результате конкатенации последнего символа и соответствующего ему префикса. В результате получаем матрицу, содержащую все циклические сдвиги, откуда выписываем строку с заданным номером. Рассмотрим этот алгоритм на конкретном примере. Пусть дана строка "абракадабра". В результате преобразования получаем набор ("рдакраааабб", 3).
| а |
... |
р
|
| а |
... |
д
|
| а |
... |
а
|
| а |
... |
к
|
| а |
... |
р
|
| б |
... |
а
|
| б |
... |
а
|
| д |
... |
а
|
| к |
... |
а
|
| р |
... |
б
|
| р |
... |
б
|
|
|
|
| аа |
... |
р
|
| аб |
... |
д
|
| аб |
... |
а
|
| ад |
... |
к
|
| ак |
... |
р
|
| бр |
... |
а
|
| бр |
... |
а
|
| да |
... |
а
|
| ка |
... |
а
|
| ра |
... |
б
|
| ра |
... |
б
|
|
|
|
| ааб |
... |
р
|
| абр |
... |
д
|
| абр |
... |
а
|
| ада |
... |
к
|
| ака |
... |
р
|
| бра |
... |
а
|
| бра |
... |
а
|
| даб |
... |
а
|
| кад |
... |
а
|
| раа |
... |
б
|
| рак |
... |
б
|
|
|
|
| аабр |
... |
р
|
| абра |
... |
д
|
| абра |
... |
а
|
| адаб |
... |
к
|
| акад |
... |
р
|
| браа |
... |
а
|
| брак |
... |
а
|
| дабр |
... |
а
|
| када |
... |
а
|
| рааб |
... |
б
|
| рака |
... |
б
|
|
|
|
| аабра |
... |
р
|
| абраа |
... |
д
|
| абрак |
... |
а
|
| адабр |
... |
к
|
| акада |
... |
р
|
| брааб |
... |
а
|
| брака |
... |
а
|
| дабра |
... |
а
|
| кадаб |
... |
а
|
| раабр |
... |
б
|
| ракад |
... |
б
|
|
|
|
| аабрак |
... |
р
|
| абрааб |
... |
д
|
| абрака |
... |
а
|
| адабра |
... |
к
|
| акадаб |
... |
р
|
| браабр |
... |
а
|
| бракад |
... |
а
|
| дабраа |
... |
а
|
| кадабр |
... |
а
|
| раабра |
... |
б
|
| ракада |
... |
б
|
|
|
|
| аабрака |
... |
р
|
| абраабр |
... |
д
|
| абракад |
... |
а
|
| адабраа |
... |
к
|
| акадабр |
... |
р
|
| браабра |
... |
а
|
| бракада |
... |
а
|
| дабрааб |
... |
а
|
| кадабра |
... |
а
|
| раабрак |
... |
б
|
| ракадаб |
... |
б
|
|
|
|
| аабракад |
... |
р
|
| абраабра |
... |
д
|
| абракада |
... |
а
|
| адабрааб |
... |
к
|
| акадабра |
... |
р
|
| браабрак |
... |
а
|
| бракадаб |
... |
а
|
| дабраабр |
... |
а
|
| кадабраа |
... |
а
|
| раабрака |
... |
б
|
| ракадабр |
... |
б
|
|
|
|
| аабракада |
... |
р
|
| абраабрак |
... |
д
|
| абракадаб |
... |
а
|
| адабраабр |
... |
к
|
| акадабраа |
... |
р
|
| браабрака |
... |
а
|
| бракадабр |
... |
а
|
| дабраабра |
... |
а
|
| кадабрааб |
... |
а
|
| раабракад |
... |
б
|
| ракадабра |
... |
б
|
|
|
|
| аабракадаб |
р
|
| абраабрака |
д
|
| абракадабр |
а
|
| адабраабра |
к
|
| акадабрааб |
р
|
| браабракад |
а
|
| бракадабра |
а
|
| дабраабрак |
а
|
| кадабраабр |
а
|
| раабракада |
б
|
| ракадабраа |
б
|
|
Зная номер исходной строки — 3, мы восстанавливаем входные данные — "абракадабра".
Сложность
Как несложно посчитать сложность данного алгоритма [math]O(N^3logN) [/math], также он требует [math]O(N^2)[/math] памяти.
Оптимизация
Описание
Однако, данный алгоритм можно оптимизировать. Заметим, что при каждом проявлении неизвестного столбца выполнялись одни и те же действия. А именно, из строки, начинающейся с некоторого символа последнего столбца получалась строка, в которой этот символ находится на первой позиции. Теперь если определить порядок получения символов первого столбца из символов последнего, то полученные значения будут являться вектором обратного преобразования. Для получения исходной строки надо выписать символы из преобразованной строки в порядке, соответствующему данному вектору, начиная с номера, содержащегося в исходных данных. Рассмотрим данный алгоритм на том же примере.
| 0 |
а |
|
р |
9
|
| 1 |
а |
|
д |
7
|
| 2 |
а |
|
a |
0
|
| 3 |
а |
|
к |
8
|
| 4 |
а |
|
р |
10
|
| 5 |
б |
|
a |
1
|
| 6 |
б |
|
a |
2
|
| 7 |
д |
|
a |
3
|
| 8 |
к |
|
a |
4
|
| 9 |
р |
|
б |
5
|
| 10 |
р |
|
б |
6
|
|
|
|
| 9 |
|
2
|
| 7 |
|
5
|
| 0 |
|
6
|
| 8 |
|
7
|
| 10 |
|
8
|
| 1 |
|
9
|
| 2 |
|
10
|
| 3 |
|
1
|
| 4 |
|
3
|
| 5 |
|
0
|
| 6 |
|
4
|
|
Выписывая элементы исходной строки в порядке полученного вектора, начиная с 3-его номера, получаем :
| 6
|
→
|
10
|
→
|
4
|
→
|
8
|
→
|
3
|
→
|
7
|
→
|
1
|
→
|
5
|
→
|
9
|
→
|
0
|
→
|
2
|
| а
|
|
б
|
|
р
|
|
а
|
|
к
|
|
а
|
|
д
|
|
а
|
|
б
|
|
р
|
|
а
|
Сложность
Данный алгоритм работает за [math]O(NlogN)[/math] действий и требует [math]O(N)[/math] памяти. Однако, если размер алфавита не очень большой, то для выяснения первого столбца матрицы можно использовать сортировку подсчетом, в этом случае алгоритм работает за [math]O(N+M)[/math] действий и требует [math]O(N+M)[/math] памяти, где [math]M[/math] — размер алфавита.
Псевдокод
Пусть [math] N [/math] — количество символов во входной строке, [math] M [/math] — количество символов в алфавите, [math] k [/math] — номер исходной строки в матрице перестановок, [math] s [/math] — входящая строка, [math] count [/math] — массив для сортировки подсчетом, [math] t [/math] — вектор обратного преобразования, [math] x [/math] — номер данной нам строки в таблице.
// Cчитаем частоты символов
for i = 0 .. M
count[i] = 0
for i = 0 .. N
count[s[i]]++
// Упорядочиваем символы, чтобы получить первый столбец исходной матрицы
// count[i] указывает на первую позицию символа i в первом столбце
sum = 0
for i = 0 .. M
sum = sum + count[i]
count[i] = sum - count[i]
// Cоздаем вектор обратного преобразования
for i = 0 .. N
t[count[s[i]]] = i
count[s[i]]++
// И восстанавливаем исходный текст
j = t[x]
for i = 0 .. N
print(s[j])
j = t[j]
См. также
