Теорема о поглощении

Определение:

Поглощающая цепь (absorbing chain) - Марковская цепь такая, что из любого состояния достижимо поглощающее. Поглощающее состояние - состояние цепи, войдя в которое однажды, нельзя выйти.

Теорема (о поглощении):

Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной 1, она перейдет в поглощающее состояние.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]P[/math] - матрица переходов, где элемент [math]p_{ij}[/math] равен вероятности перехода из [math]i[/math]-го состояния в [math]j[/math]-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где [math]Q[/math] - непоглощающие состояния, а [math]R[/math] и [math]I[/math] - поглощающие (т.к. цепь поглощающая, то из любого непоглощающего можно попасть в поглощающее). [math]I[/math] - единичная матрица. [math]P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] Пусть вектор [math]c^{(t)}[/math] - вектор вероятности нахождения на шаге [math]t[/math]. Он вычисляется, как произведение вектора на нулевом шаге на матрицу перехода в степени [math]t[/math]. [math] c^{(t)} = c^{(0)} \times P^t[/math] Рассмотрим, что представляет из себя возведение матрицы [math]P[/math] в степень: Для [math]t = 2[/math] : [math]P^{2} = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q \times Q + R \times 0 & Q \times R + R \times I \\ 0 \times Q + I \times 0 & 0 \times R + I \times I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q^2 & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] . Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица ([math]I \times I = I[/math]); [math]X[/math] - некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0). Продолжив вычисления, получим, что [math]P^n[/math] имеет такой вид: [math]\begin{pmatrix} Q^n & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] . Докажем, что [math]Q^n \xrightarrow{} 0[/math], при [math] n\xrightarrow{}+\infty[/math]. Рассмотрим путь из i-го состояния в поглощающее, равное [math]m_i[/math]. Пусть [math]p\lt 1[/math] - вероятность того, что через [math]m_i[/math] шагов из шага [math]i[/math] не попадет в поглощающее состояние. Пусть [math]m = max(m_i)[/math], а [math]p = max(p_i)\lt 1[/math] Тогда получаем: [math]\sum_{j} {Q^m_{ij}}\leqslant p[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0[/math] В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к [math]0[/math], а значит поглощающие в итоге приходят к [math]1[/math], т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.

[math]\triangleleft[/math]