Факты из математического анализа — различия между версиями
Николай (обсуждение | вклад) (→Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln x} = 1) |
Николай (обсуждение | вклад) (→Оценка ряда f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) с помощью \int \limits_{1}^{n} f(x) dx для монотонных функций.) |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. == | == Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. == | ||
| − | + | Пусть есть ряд состоящий из значений функций: | |
| − | + | <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью? | |
| − | + | ||
| − | }} | + | Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает. |
| + | Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math> | ||
| + | |||
| + | Аналогично оценим ряд снизу. | ||
== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> == | == Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> == | ||
Версия 20:18, 28 июня 2010
Эта статья находится в разработке!
Содержание
- 1 Оценка ряда [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math] с помощью [math] \int \limits_{1}^{n} f(x) dx [/math] для монотонных функций.
- 2 Теорема о [math] \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) [/math]
- 3 Теорема о [math] \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) [/math]
- 4 Формула Тейлора
- 5 Теорема о [math] \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) [/math]
Оценка ряда с помощью для монотонных функций.
Пусть есть ряд состоящий из значений функций: , притом либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
Рассмотрим случай, когда ряд из монотонно возрастает. Оценим ряд сверху:
Аналогично оценим ряд снизу.
