Классы PH, Σ и Π

Классы Σ и Π

Определение:

[math]\Sigma_{i} = \{L|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in P, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},[/math] где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \exists[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \forall[/math] для [math]i = 2k[/math].

Определение:

[math]\Pi_{i} = \{L|\exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in P, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},[/math] где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \forall[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \exists[/math] для [math]i = 2k[/math].

Взаимоотношения между классами Σ и Π

Теорема:

[math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. Проверим, что [math]L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})[/math]. [math]R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Проверим, что [math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{0} \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math]. [math]R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Т.о., [math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Pi_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. Проверим, что [math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})[/math]. [math]R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Проверим, что [math]L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{0} \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math]. [math]R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Т.о., [math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Pi_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\Sigma_{i} = co\Pi_{i}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]co\Pi_{i} = \{L|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in P, p[/math] — [math]poly: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_j|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\}.[/math] Из самого выражения для [math]co\Pi_{i}[/math] очевидно равенство.

[math]\triangleleft[/math]

Класс PH

Определение:

[math]PH_{1} = {\bigcup \atop {k \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}[/math]. [math]PH_{2} = {\bigcup \atop {k \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}[/math]. [math]PH_{3} = {\bigcup \atop {k \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})[/math].

Теорема:

Все три определения класса [math]PH[/math] эквивалентны, т.е. [math]PH_{1} = PH_{2} = PH_{3}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow PH_{1} \subset PH_{2}[/math]. [math]\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow PH_{2} \subset PH_{3}[/math]. [math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow PH_{3} \subset PH_{1}[/math]. Т.о., [math]PH_{1} \subset PH_{2} \subset PH_{3} \subset PH_{1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]PH \subset PS[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. То есть, для перебора всех возможных значений [math]y_{j}[/math] потребуется не более, чем [math]i \cdot poly(|x|)[/math] памяти. Заметим, что [math]i \cdot poly(|x|)[/math] тоже полином. Таким образом, для любого формального языка из [math]PH[/math] существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из [math]PH[/math] принадлежит [math]PS[/math].

[math]\triangleleft[/math]