Теорема Бермана — Форчуна

Лемма (1):

[math]L \in coNPC \Leftrightarrow \overline L \in NPC[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in coNPC[/math]. Тогда [math]L \in coNP[/math] и [math]\overline L \in NP[/math]. Рассмотрим произвольный язык [math]L_1 \in NP[/math]. Тогда [math]\overline {L_1} \in coNP[/math]. Так как [math]L \in coNPC[/math], то [math]\overline {L_1} \le_f L[/math], следовательно [math]L_1 \le_f \overline L[/math]. Получили, что [math]\overline L \in NP[/math] и [math]\forall L_1 \in NP \, L_1 \le_f \overline L[/math]. Значит [math]\overline L \in NPC[/math]. В обратную сторону доказательство аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]TAUT = \{\phi | \forall x \, \phi(x)=1\}[/math].

Лемма (2):

[math]TAUT \in coNPC[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\overline {TAUT} = \{\phi | \exists x : \phi(x) \ne 1\} = \{\phi | \overline {\phi} \in SAT\}[/math], то есть [math]\overline {TAUT} \in NPC[/math]. Тогда по лемме 1 [math]TAUT \in coNPC[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]SPARSE = \{L | \exists[/math] полином [math]p: \forall n \, |L \cap \Sigma^n| \le p(n)\}[/math].

Теорема (Махэни, light):

[math]coNPC \cap SPARSE = \varnothing \Rightarrow P = NP[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть существует [math]S \in coNPC \cap SPARSE[/math]. Разрешим [math]TAUT[/math] за полином. Для начала напишем программу, разрешающую [math]TAUT[/math]: [math]check(\phi, i)[/math] if [math]memo[\phi] \ne -1[/math] return [math]memo[\phi][/math] if [math]\phi=0[/math] return 0 if [math]\phi=1[/math] return 1 [math]memo[\phi] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1)\, \&\&\, check(\phi|_{x_i=1}, i+1)[/math] return [math]memo[\phi][/math] Ответом будет [math]check(\phi, 1)[/math]. Далее, так как [math]TAUT \in coNPC[/math] и [math]S \in coNPC[/math], то [math]TAUT \le_f S[/math], то есть [math]\phi \in TAUT \Leftrightarrow f(\phi) \in S[/math]. Поэтому, если в предыдущей программе заменить все обращения к [math]memo[\phi][/math], на [math]memo[f(\phi)][/math], то полученная программа по прежнему будет разрешать [math]TAUT[/math]. [math]check(\phi, i)[/math] if [math]memo[f(\phi)] \ne -1[/math] return [math]memo[f(\phi)][/math] if [math]\phi=0[/math] return 0 if [math]\phi=1[/math] return 1 [math]memo[f(\phi)] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1)\, \&\&\, check(\phi|_{x_i=1}, i+1)[/math] if [math]memo.size() \gt r(n)[/math] exit [math]0[/math] return [math]memo[f(\phi)][/math] blablabla

[math]\triangleleft[/math]