Граф компонент рёберной двусвязности

Определение:

Пусть граф [math]G[/math] связен. Обозначим [math]A_1\ldots A_n[/math] — компоненты реберной двусвязности, а [math]a_1\ldots a_m[/math] — мосты [math]G[/math]. Построим граф [math]T[/math], в котором вершинами будут [math]A_1\ldots A_n[/math], а ребрами — [math]a_1\ldots a_m[/math], соединяющими соответствующие вершины из соответствующих компонент реберной двусвязности. Полученный граф [math]T[/math] называют графом компонент реберной двусвязности графа [math]G[/math].

Граф [math]G[/math]

Граф [math]T[/math]

Лемма:

В определении, приведенном выше, [math]T[/math] — дерево.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

а) [math]T[/math] — связно. (Следует из определения) б) В [math]T[/math] нет циклов. Пусть какие-то две смежные вершины [math]A_k[/math] и [math]A_l[/math] принадлежат какому-то циклу. Тогда ребро [math](A_k, A_l)[/math] принадлежит этому же циклу. Следовательно, существуют два реберно-непересекающихся пути между вершинами [math]A_k[/math] и [math]A_l[/math], т.е. [math](A_k, A_l)[/math] — не является мостом. Но [math](A_k, A_l)[/math] — мост по условию. Получили противоречие. [math]T[/math] — дерево.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

Граф блоков-точек сочленения