Изменения

Рассмотрим конечную группу <mathtex>G</mathtex>, <mathtex>\vert G\vert=n</mathtex>. Занумеруем элементы: <mathtex>g_1,g_2,...,g_n</mathtex>.

<mathtex>\phi_i:G\rightarrow G,\,\phi_i(a)=g_i\cdot a</mathtex>

Это отображение, очевидно, сюръективно (прообразом элемента <mathtex>x</mathtex> служит <mathtex>g_i^{-1}\cdot x</mathtex>), инъективно(<mathtex>g_i\cdot a = g_i\cdot b\,\Leftrightarrow\, a=b</mathtex>), а значит, и биективно. Иными словами, оно является перестановкой.

Определим отображение <mathtex>\psi:G\rightarrow S_n,\,\psi(g_i)=\phi_i</mathtex>. При этом <mathtex>\phi_i</mathtex> рассматривается как перестановка. Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом: <mathtex>\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)</mathtex>. Раз образ гомоморфизма является подгруппой, то верно утверждение: любая конечная группа изоморфна(для этого надо еще упомянуть, что различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент) некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы. Такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется '''регулярным представлением'''. [[Категория: Теория групп]]