Статистики на отрезках. Корневая эвристика

Определение:

Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция) — это метод, или структура данных, которая позволяет выполнять некоторые ассоциативные операции над отрезками (суммирование элементов подмассива, нахождение минимума/максимума и т.д.) за [math] O(\sqrt n)[/math].

Описание

Предпосчет

Пусть нам дан массив [math]A[/math] размерности [math]n[/math]. Cделаем следующий предпосчет:

• разделим массив [math]A[/math] на блоки длины [math]len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/math] ;
• в каждом блоке заранее предпосчитаем необходимую нам операцию (сумму элементов, минимум/максимум и т.д.);
• результаты предпосчёта запишем в массив [math]B[/math] размерности [math]cnt[/math], где [math]cnt = \left\lceil \frac{n}{len} \right\rceil[/math] — количество блоков.

Пример предпосчета для запроса "подсчет суммы":

for(int i = 0; i < n; i++)
    B[i / len] += A[i]

Запрос

Пусть мы получили запрос на нахождение суммы (минимума/максимума и т.д) на отрезке [math][l, r][/math]. Отрезок может охватить некоторые блоки массива [math]B[/math] полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) - не полностью.

Проверка на то, что блоки входят в отрезок полностью:

• для начального блока: [math]l ~ mod ~ len = 0[/math] ;
• для конечного блока: [math](r + 1) ~ mod ~ len = 0 [/math].

Значит, для того чтобы найти, например, сумму на отрезке [math][l, r][/math] нам необходимо вручную посчитать сумму на "хвостиках" и сложить с суммой полных блоков, предпосчет которых мы сделали заранее.

Изменение элемента

Теперь разрешим изменять элементы. Если меняется какой-то элемент [math]a_i[/math], то достаточно пересчитать значение [math]b_k[/math] в том блоке, в котором этот элемент находится:

[math]b_k\ = \min(new\_value, a_j)[/math], где [math]a_j[/math] - элементы блока [math]b_k[/math]

[math](k = i / len)[/math]

Оценка сложности

Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока [math]len[/math], а количество блоков не превосходит [math]cnt[/math]. Поскольку и [math]len[/math], и [math]cnt[/math] мы выбирали [math]\approx \sqrt{n}[/math], то всего для вычисления минимума и пересчитывания на отрезке [math][l \ldots r][/math] нам понадобится [math]O(\sqrt{n})[/math] операций.

Источники

• Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция
• Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)