Порядок элемента группы

Эта статья требует доработки!

1. Добавить примеры групп и их элементов с конечными и бесконечными порядками.
2. Добавить примеры p-групп.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

испралено

Определение:

Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.

примером элемента с бесконечным порядком является любой ненулевой элемент множества [math]\mathbb{Z}[/math].

примером элемента с не бесконечным порядком является элемент [math]\overline{2}[/math] класса вычетов по модулю 3. он имеет порядок равный 2.

Утверждение:

В конечной группе у всех элементов конечный порядок.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math](иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]p[/math]-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа [math]p[/math]. Порядок разных элементов может быть разным.

примером [math]p[/math]-группы является группа класса вычетов по модулю 3.