Статистики на отрезках. Корневая эвристика

Определение:

Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция) — это метод, или структура данных, которая позволяет выполнять некоторые ассоциативные операции над отрезками (суммирование элементов подмассива, нахождение минимума/максимума и т.д.) за [math] O(\sqrt n)[/math].

Построение

Пусть нам дан массив [math]A[/math] размерности [math]n[/math]. Cделаем следующие действия:

• разделим массив [math]A[/math] на блоки длины [math]len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/math] ;
• в каждом блоке заранее посчитаем необходимую нам операцию;
• результаты подсчета запишем в массив [math]B[/math] размерности [math]cnt[/math], где [math]cnt = \left\lceil \frac{n}{len} \right\rceil[/math] — количество блоков.

Пример реализации построения массива [math]B[/math] для операции [math] \circ [/math]:

build()
    for i = 0 to cnt
        B[i] = ???   // где ??? - нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math]
    for i = 0 to n - 1
        B[i / len] = B[i / len] [math] \circ [/math] A[i]

Построение, очевидно, происходит за [math]O(n)[/math] времени.

Обработка запроса

Пусть мы получили запрос на выполнение операции на отрезке [math][l, r][/math]. Отрезок может охватить некоторые блоки массива [math]B[/math] полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) - не полностью.

Таким образом, для того чтобы найти результат операции на отрезке [math][l, r][/math] нам необходимо вручную выполнить ее на "хвостах", а потом выполнить ее для полученного результата и полных блоков, значения которых мы посчитали заранее.

Пример реализации обработки запроса:

[math] \circ [/math] - операция, для которой было сделано построение.

query(l, r)
    left = l / len
    right = r / len
    end = (left + 1) * len - 1
    res = ???   // где ??? - нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math]
    if left == right
        for i = l to r
	    res = res [math] \circ [/math] A[i]
    else
        for i = l to end
            res = res [math] \circ [/math] A[i]
        for i = left + 1 to right - 1
            res = res [math] \circ [/math] B[i]
        for i = right * len to r
            res = res [math] \circ [/math] A[i]

Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока [math]len[/math], а количество блоков не превосходит [math]cnt[/math]. Поскольку и [math]len[/math], и [math]cnt[/math] мы выбирали [math]~ ~ \approx \sqrt{n}[/math], то для выполнения операции на отрезке [math][l, r][/math] нам понадобится [math]O(\sqrt{n})[/math] времени.

Запрос на изменение элемента

Реализации данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой мы сделали построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.

• если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента мы можем сделать за [math]O(1)[/math] времени;
• если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за [math]O(\sqrt{n})[/math] времени.

Примеры реализации:

[math]p[/math] - номер элемента из массива [math]A[/math], который необходимо заменить; [math]newValue[/math] - новое значение для данного элемента.

[math] \circ [/math] - операция, для которой было сделано построение.

Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности:

set(p, newValue)
    tmp = B[p / len] [math] \circ [/math] inverse(A[p])   // inverse(A[p]) - обратный элемент
    A[p] = newValue
    B[p / len] = tmp [math] \circ [/math] newValue

Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется:

set(p, newValue)
    index = len * (p / len)
    A[p] = newValue
    B[p / len] = ???   // где ??? - нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math]
    for i = index to index + len - 1
        B[p / len] = B[p / len] [math] \circ [/math] A[i]

Источники

• Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция
• Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)