Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя

Теорема

Теорема:

Существуют такие оракулы [math]A[/math] и [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math] и [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Существование оракула [math]A[/math] Рассмотрим PS-полный язык [math]\mathrm{TQBF}[/math]. [math] \mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq} \mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq} \mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=} \mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=} \mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq} \mathrm{P^{TQBF}} \Rightarrow [/math] [math]\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math]. [math] \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} [/math]. Так как [math]S(p,x) \le T(p, x)[/math], то [math] \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} [/math]. По теореме Сэвича [math] \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} [/math]. Следовательно, [math]\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math] Существование оракула [math]B[/math] Пусть [math]B[/math] — произвольное множество, а [math]U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}[/math]. Ясно, что [math]\forall B[/math] выполнено [math]U_B \in \mathrm{NP}^B[/math] (сертификатом будет слово нужной длины из [math]B[/math]). Построим такое множество [math]B[/math], что [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math]. Пронумеруем некоторым образом все машины Тьюринга, работающие за полиномиальное время и имеющие доступ к оракулу языка [math]B[/math], и рассмотрим последовательность [math]M_i[/math], в которой каждая машина Тьюринга встречается бесконечное число раз. Очевидно, это можно сделать в силу счетности множества машин Тьюринга. Построение множества [math]B[/math] разделим на счетное число стадий. Будем строить [math]B[/math] так, чтобы на [math]i[/math]-й стадии было выполнено: существует слово [math]x[/math], что [math]T(M_i, x) \ge 2^{n-1}[/math]. Это утверждение сильнее, чем [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math], так как [math]2^n[/math] растет быстрее любого полинома. 0-я стадия: [math]B \leftarrow \varnothing [/math]. [math]i[/math]-я стадия. Стадии с 0-й по [math](i-1)[/math]-ю пройдены, [math]B[/math] — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из [math](n-1)[/math]-го символа. Запустим машину [math]M_i[/math] на входе [math]1^n[/math] на [math]2^{n-1}[/math] шагов. Когда [math]M_i[/math] требуется ответ оракула языка [math]B[/math] о слове [math]x[/math], будем определять принадлежность этого слова к [math]B[/math] следующим образом: если принадлежность [math]x[/math] множеству [math]B[/math] была определена на одной из предыдущих стадий, то она сохраняется; если принадлежность [math]x[/math] множеству [math]B[/math] не установлена ранее, то далее считаем, что [math]x \not\in B[/math]. Но [math]M_i[/math] могла остановиться раньше, чем за [math]2^{n-1}[/math] шагов, и вернуть какое-либо значение. Так как [math]B[/math] строится с условием, что для выбранного [math]x = 1^n[/math] выполнено: [math]T(M_i,x) \ge 2^{n-1}[/math], то решение машины о принадлежности слова должно быть неверным: если [math]M_i[/math] приняла слово, то исключим из [math]B[/math] все слова вида [math]\{0,1\}^n[/math]; Если [math]M_i[/math] отклонила слово, то выберем слово [math]x[/math] длины [math]n[/math], принадлежность которого [math]B[/math] еще не определена. Добавим [math]x[/math] в [math]B[/math]. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущих шагах мы могли сделать не более, чем [math]2^n-1[/math] запросов к оракулу (то есть определить принадлежность [math]B[/math] не более [math]2^n-1[/math] слов длины [math]n[/math]), а всего слов длины [math]n[/math] [math]2^n[/math]. Во множестве [math]B[/math] на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как на каждой стадии в [math]B[/math] может быть добавлено не более чем [math]2^{n-1}+1[/math] слов. Из построения получаем, что для любой машины Тьюринга [math]M[/math] существует бесконечно много слов из [math]U_B[/math], для которых [math]M[/math] не может принять верное решение о принадлежности слова [math]U_B[/math] за время, меньшее [math]2^{n-1}[/math]. Следовательно, [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:

Если существует решение вопроса равенства [math]\mathrm{P}[/math] и [math] \mathrm{NP}[/math], то оно не должно «релятивизоваться».

Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение [math]\mathrm{P}[/math] и [math]\mathrm{NP}[/math] не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.