Классы PH, Σ и Π — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 28: Строка 28:
 
   }
 
   }
 
Таким образом, <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
 
Таким образом, <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
−
}}
 
−
 
−
{{Теорема
 
−
|statement = <tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
 
−
|proof = Пусть <tex>L \in \Pi_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)</tex>.<br/>
 
−
Проверим, что <tex>L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})</tex>.
 
−
<br/>
 
−
  <tex>R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})</tex> {
 
−
    return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
 
−
  }
 
−
Проверим, что <tex>L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{0} \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex>.
 
−
<br/>
 
−
  <tex>R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex> {
 
−
    return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
 
−
  }
 
−
Таким образом, <tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Pi_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 55: Строка 39:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
−
<tex>\mathrm{PH_{1}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}</tex>.<br/>
+
<tex>\mathrm{PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}</tex>.<br/>
−
<tex>\mathrm{PH_{2}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}</tex>.<br/>
 
−
<tex>\mathrm{PH_{3}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})</tex>.
 
−
}}
 
−
 
 
−
{{Теорема
 
−
|statement = Все три определения класса <tex>PH</tex> эквивалентны, т.е. <tex>\mathrm{PH_{1}} = \mathrm{PH_{2}} = \mathrm{PH_{3}}</tex>.
 
−
|proof = <tex>\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}}</tex>.<br/>
 
−
<tex>\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}}</tex>.<br/>
 
−
<tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.<br/>
 
−
Таким образом, <tex>\mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 20:47, 4 июня 2012

Классы Σ и Π

Определение:
[math]\Sigma_{i} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},[/math]
где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \exists[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \forall[/math] для [math]i = 2k[/math].


Определение:
[math]\Pi_{i} = \{L \bigm| \exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},[/math]
где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \forall[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \exists[/math] для [math]i = 2k[/math].


Соотношения между классами Σ и Π

Теорема:
[math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math].
Проверим, что [math]L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})[/math]. 

 [math]R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})[/math] {
   return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math];
 }

Проверим, что [math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{0} \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math]. 

 [math]R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math] {
   return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math];
 }
Таким образом, [math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math]\Sigma_{i} = \mathrm{co\Pi_{i}}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{co\Pi_{i}} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_j|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\}.[/math]

Из самого выражения для [math]\mathrm{co\Pi_{i}}[/math] очевидно равенство.
[math]\triangleleft[/math]

Класс PH

Определение:
[math]\mathrm{PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}[/math].


Теорема:
[math]\mathrm{PH} \subset \mathrm{PS}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math].
То есть, для перебора всех возможных значений [math]y_{j}[/math] потребуется не более, чем [math]i \cdot poly(|x|)[/math] памяти. Заметим, что [math]i \cdot poly(|x|)[/math] тоже полином.

Таким образом, для любого формального языка из [math]\mathrm{PH}[/math] существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из [math]\mathrm{PH}[/math] принадлежит [math]\mathrm{PS}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Классы_PH,_Σ_и_Π&oldid=23845»