PCP-теорема

Теорема ([math]\mathrm{PCP}[/math] теорема):

[math]\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}[/math]

Классическое доказательство [math]\mathrm{PCP}[/math] теоремы громоздкое и довольно сложное для восприятия, рассмотрим вариант докаательства, предложенный Динуром. Оно основано на тос, что [math]\mathrm{PCP}[/math]-теорема эквивалентна [math]\mathrm{NP}[/math]-трудности задачи [math]\rho-GAPqCSP[/math].

Определения и леммы, используемые в доказательстве

Определение:

[math]\mathcal{C}=\lbrace c_1,..., c_n\rbrace[/math] назовем множеством условий над множеством переменных [math]V[/math].

Определение:

Число неудовлетворенности [math]UNSAT(\mathcal{C})[/math] — минимальное подмножество неудовлетворенных условий для любых возможных назначений [math]V[/math]. [math]\mathcal{C}[/math] удовлетворимо тогда и только тогда, когда [math]UNSAT(\mathcal{C})=0[/math]. Если же [math]\mathcal{C}[/math] неудовлетворимо, тогда [math]UNSAT(\mathcal{C}) \ge \frac 1 n[/math].

Графы условий

Нам понадобятся графы ограничений для двух переменных, которые определяются следующим образом:

Определение:

[math]G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle[/math] называется графом условий, если: [math](V,E)[/math] — неориентированный граф, называемый графом, леащим в основе [math]G[/math]. Множество [math]V[/math] также представляется в виде множества переменных принимающих значениями из алфавита [math]\Sigma[/math] Каждое ребро [math]e \in E[/math] содержит условие [math]c(e) \subseteq \Sigma^2[/math] и [math]\mathcal{C}=\lbrace c(e)\rbrace_{e \in E}[/math]. Условие [math]c(e)[/math] называется удовлетворенным парой [math](a, b)[/math], если [math](a, b) \in c(e)[/math]

Присваивание это отображение [math]\sigma:V \rightarrow \Sigma[/math], которое назначает каждой вершине из [math]V[/math] значение из [math]\Sigma[/math]. Для любого присвоения [math]\sigma[/math] определим [math]UNSAT_\sigma(G) = \operatorname*{Pr}\limits_{(u,v)\in E} [(\sigma(u),\sigma(v)) \notin c(e)][/math] и [math]UNSAT(G) = \operatorname*{min}\limits_\sigma UNSAT_\sigma(G)[/math].

Назовем [math]UNSAT(G)[/math] числом неудовлетворенности графа [math]G[/math]. Размером графа будем считать размер его описания [math]size(G)=O(|V|+|E| \cdot |\Sigma|^2)[/math]

Лемма:

Для заданного графа условий [math]G=\left\langle(V,E,\Sigma,\mathcal{C}\right\rangle[/math], где [math]|\Sigma|=3[/math] проверка утверждения [math]UNSAT(G)=0[/math] — [math]\mathrm{NP}[/math]-трудная задача.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сведем [math]3Color[/math] к нашей задаче. Дан граф [math]G[/math], алфавит [math]\Sigma=\lbrace 1,2,3 \rbrace[/math] для трех цветов. Оснастим ребра условиями неравенства. Очевидно, что [math]G \in 3Color[/math] тогда и только тогда, когда [math]UNSAT(G)=0\lt tex\gt (Иногда удобно использовать одно и то же обозначение \lt tex\gt G[/math] для графа условий и графа, лежащего в его основе).

[math]\triangleleft[/math]

Экспандер графы

Экспандер графы играют важную роль во многих теоретических результатах.

Определение:

[math]G=(V,E)[/math] [math]d[/math]-регулярный граф. Положим [math]E(S,\overline{S})=|(S \times \overline{S}) \cap E|[/math] равным количеству ребер их подмножества [math]S\in V[/math] в его дополнение. Определим реберное расширение как [math]h(G)=\operatorname*{min}\limits_{S:|S|\lt \frac {|V|} 2} \frac {E(S, \overline S)} {|S|}[/math]

Лемма (О экспандерах):

Существует [math]d_0 \in \mathbb{N}[/math] и [math]h_0 \gt 0[/math] такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство [math]\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}[/math] [math]d_0[/math]-регулярных графов [math]X_n[/math] с [math]n[/math] вершинами таких, что [math]h(X_n) \ge h_0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math]G[/math] [math]d[/math]-регулярный граф, а [math]h(G)[/math] его реберное расширение. Тогда [math]\lambda(G) \le d - \frac {h(G)^2} d[/math]

Определение:

Собственным числом графа [math]\lambda[/math] называют собственное число его матрицы смежности.

Лемма:

Пусть [math]G[/math] [math]d[/math]-регулярный граф со вторым по величине собственным числом [math]\lambda[/math]. Пусть [math]F \subseteq E[/math] множество ребер. Вероятность [math]p[/math] того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из [math]F[/math] на [math]i+1[/math] шаге попадет [math]F[/math] ограничена [math]\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Операции на графах условий

Для доказательства [math]\mathrm{PCP}[/math] теоремы потребуются три операции над графами уловий:

• Препроцессинг. Простая операция, сохраняющая чило неудовлетворенности(примерно) и размер алфавита, но делающая граф лучше.
• Усиление. Эта операция увеоичивает чило неудовлетворенности за счет увеличения размера алфавита.
• Композицияю Эта операция уменьшает размер алфавита, сохраняя число неудовлетворенности(приблизительно).

Препроцессинг

Под хорошим графом будем понимать регулярный, фиксированной степени экспандер граф.

Лемма (Препроцессинг):

существуют константы [math]0 \lt \lambda \lt d[/math] и [math]\beta_1 \gt 0[/math] такие, что любой граф условий [math]G[/math] может быть преобразован в граф условий [math]G'=prep(G)[/math] такой, что: [math]G'[/math] [math]d[/math]-регулярный [math]G'[/math] имеет тот же алфавит, что и [math]G[/math] и [math]size(G') = O(size(G))[/math]. [math]\beta_1 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)[/math]

Заметим, что третий пункт теммы гарантирует поддержание полноты, т.е. если [math]UNSAT(G)=0[/math], то и [math]UNSAT(G')=0[/math]. Доказательство этой леммы состоит из двух следующих лемм ([math]\beta_1=c \cdot \frac d {d + d_0 + 1}[/math]).

Лемма (Константная степень):

Любой граф условий [math]G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle[/math] может быть преобразован в [math](d_0 + 1)[/math]-регулярный граф условий [math]G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle[/math] такой, что [math]|V'|[/math]=2

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Эта лемма известна как экспандер-замена(expander-replacement transformation).

Лемма (О расширении):

Пусть [math]d_0, h_0 \gt 0[/math] некоторые константы. Любой [math]d[/math]-регулярный граф условий [math]G[/math] может быть преобразован в [math]G'[/math] такой, что: [math]G'[/math] [math](d + d_0 + 1)[/math]-регулярный, имеет собственные циклы и [math]\lambda(G') \le d + d_0 + 1 - \frac {h_0^2} {d + d_0 + 1} \lt deg(G')[/math] [math]size(G')=O(size(G))[/math] [math] \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Усиление

Это новая операция на системах условий, которая увеличивает число неудовлетворенности. Пусть [math]G=\langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle\lt tex\gt граф условий, \lt tex\gt t \in \mathbb{N}[/math]. Определим [math]G^t=\langle (V,\mathbf{E}),\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}, \mathcal{C}^t \rangle[/math] как следующий граф условий:

• Веришины [math]G^t[/math] совпадают с вершинами [math]G[/math]
• Ребра: [math]u[/math] и [math]v[/math] соединены [math]k[/math] ребрами в [math]\mathbf{E}[/math], если количество путей длины [math]t[/math] из [math]u[/math] в [math]v[/math] в графе [math]G[/math] равно [math]k[/math]
• Алфавит: алфавит графа [math]G^t[/math] [math]\Sigma^{d^{\lceil t/2\rceil}}[/math], где каждой вершине сопоставлены значения ее соседей, достижимых за [math]\frac t 2[/math] шагов.
• Условия: Условия сопоставленные ребру [math]e=(u,v) \in \mathbf{E}[/math] удовлетворены, если назначения для [math]u[/math] и [math]v[/math] согласованы с назначениями, удовлетворяющими условия, порожденные [math]\frac t 2[/math] соседями [math]u[/math] и [math]v[/math].

Если [math]UNSAT(G)=0[/math] тогда очевидно [math]UNSAT(G^t)=0[/math]. Интереснее доказательство того, что [math]UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t} \cdot UNSAT(G)[/math].

Лемма (Усиление):

Пусть [math]\lambda \lt d[/math] и [math]|\Sigma|[/math] произвольные константы. Тогда существует константа [math]\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)\gt 0\lt /rex\gt такая, что для любого \lt tex\gt t \in \mathbb N[/math] и для любого [math]d[/math]-регулярного графа условий [math]G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle[/math] с собственными циклами и [math]\lambda(G)\le \lambda[/math], [math]UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Поскольку [math]UNSAT(G) \le \frac 1 t[/math], из жтой леммы следует что [math]UNSAT(G^t) \ge O(\sqrt{t}) \cdot UNSAT(G)[/math]. Это основная техническая лемма.

Композиция

Определение:

Тестер присвоений с алфавитом [math]\Sigma_0[/math] и вероятностью отклонения [math]\epsilon \gt 0[/math] это полиномиальное преобразование [math]\mathcal{P}[/math], принимающее на вход схему [math]\Phi[/math] над будевыми переменными [math]X[/math] и дающую на выходе граф условий [math]G=\langle(V,E),\Sigma_0,\mathcal{C}\rangle[/math] такой, что [math]V \subset X[/math](в условном графе [math]V[/math] играет одновременно две роли: переменных и вершин. [math]Y \subset X[/math] подразумевает, что некоторые вершины из [math]V[/math] определены с помощью переменных [math]X[/math]). Пусть [math]V'=V \setminus X[/math] и [math]a : X \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace[/math] — присваивание. (Полнота) Если [math]a \in SAT(\Phi)[/math] то существует [math]b : V' \rightarrow \Sigma_0[/math] такое, что [math]UNSAT_{a\cup{b}}(G)=0[/math] (Обоснованность) Если [math]a \notin SAT(\Phi)[/math] то для всех [math]b : V' \rightarrow \Sigma_0[/math], [math]UNSAT_{a\cup{b}}(G) \ge \epsilon \cdot dist(a, SAT(\Phi))[/math].

Следует заметить, что не накладывается никаких ограничений ни на время работы [math]\mathcal{P}[/math] ни на [math]size(G)[/math]. Мы игнорируем размер схемы [math]\Phi[/math], которая может быть экспоненциальна относительно [math]|X|[/math].

Лемма (Композиция):

Пусть существует тестер присвоений [math]\mathcal{P}[/math] с константной вероятностью отклонения [math]\epsilon \gt 0[/math] и алфавитом [math]\Sigma_0[/math], [math]|\Sigma_0|=O(1)[/math]. Тогда существует [math]\beta_3 \gt 0[/math], зависящая только от [math]\mathcal{P}[/math], такая что любой граф условий [math]G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle[/math] может быть преобразован в [math]G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle[/math], обозначаемый [math]G \circ \mathcal{C}[/math], такой что [math]size(G')=M(|\Sigma|) \cdot size(G)[/math] и [math]\beta_3 \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

см. The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005

[math]\triangleleft[/math]

Основная теорема

Основываясь на операциях с графами условий мы можем доказать основную теорему.

Теорема (Основная теорема):

Для любого [math]\Sigma[/math], [math]|\Sigma|=O(1)[/math] существуют константы [math]C \gt 0[/math] и [math]0 \lt \alpha \lt 1[/math] такие, что для данного графа условий [math]G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle[/math] за полиномиальное время можно построить граф условий [math]G'=\langle(V',E'),\Sigma_0,\mathcal{C}'\rangle[/math] такой, что: [math]size(G') \le C \cdot size(G)[/math] и [math]|\Sigma_0| = O(1)[/math] (Полнота) Если [math]UNSAT(G)=0[/math], то [math]UNSAT(G')=0[/math] (Обоснованность) [math]UNSAT(G') \ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Построим [math]G'[/math] по [math]G[/math] следующим образом: [math]G'=(prep(G))^t \circ \mathcal{P}[/math]. (Препроцессинг) Пусть [math]H_1=prep(G)[/math]. Существуют некоторые глобальные константы [math]\lambda \lt d [/math] и [math]\beta_1 \gt 0[/math] такие, что [math]H_1[/math] [math]d[/math]-регулярный, имеет тот же алфавит, что и [math]G[/math], [math]\lambda(H_1) \le \lambda \lt d[/math] и [math]\beta_1 \cdot UNSAT*G( \le UNSAT(H_1) \le UNSAT(G)[/math]. (Усиление) Пусть [math]H_2=(H_1)^t[/math] для достаточно большой константы [math] t \gt 1[/math], которую определим ниже. Существует некоторая константа [math]\beta_2=\beta(\lambda, d, |\Sigma|) \gt 0[/math], для которой [math]UNSAT(H_2) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)[/math]. Однако, алфавит вырос до [math]\Sigma^{d^{\lceil t / 2 \rceil}}[/math]. (Композиция) Пусть [math]G'=H_2 \circ \mathcal{P}[/math]. Это уменьшит алфавит до [math]\Sigma_0[/math], при [math]\beta_3 \cdot UNSAT(H_2) \le UNSAT(G') \le UNSAT(H_2)[/math] для некоторой [math]\beta_3 \gt 0 [/math]. Проверим выполнение условий теоремы. Размер [math]G'[/math] линеен относительно размера[math]G[/math], поскольку на каждом шагу увеличивался линейно. Полнота явно поддерживается на каждом шаге. Теперь выберем [math]t=\left\lceil\left({\frac 2 {\beta_1\beta_2\beta_3}}\right)^2\right\rceil[/math]. Пусть [math]\alpha=\frac {\beta_3\beta_2} {sqrt{t}}[/math]. Таким образом, [math]UNSAT(G') \ge \beta_3 \cdot UNSAT(H_2)[/math] [math]\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(UNSAT(H_1), \frac 1 t)[/math] [math]\ge \beta_3 \cdot \beta_2 \sqrt{t} \cdot min(\beta_1 UNSAT(G_, \frac 1 t) [/math] [math]\ge min(2 \cdot UNSAT(G), \alpha)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Доказательство PCP теоремы

Лемма:

Следствием из основной теоремы является [math]\mathrm{NP}[/math]-трудность [math]GAP-3SAT_s[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть [math]G[/math] задача удовлетворимости некоторого графа с [math]|\Sigma|=3[/math]. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным. Пусть [math]G_0 = G[/math] и [math]G_i(i \ge 1)[/math] — результат применения основной теоремы к [math]G_{i-1}[/math]. Тогда для [math]i \ge 1[/math] [math]G[/math] — граф условий с алфавитом [math]\Sigma_0[/math]. Пусть [math]E_0[/math] — множество ребер [math]G_0\lt tex\gt и \lt tex\gt k=log|E_0|=O(log n)[/math]. Полнота показывается тривиально: если [math]UNSAT(G_0)=0[/math], то для всех [math]i[/math] [math]UNSAT(G_i)=0[/math]. Для обоснованности рассмотрим [math]UNSAT(G_0) \gt 0[/math]. Если для некоторого [math]i*\lt k[/math], [math]UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2[/math], то из основной теоремы следует, что для всех [math]i\gt i*[/math] [math]UNSAT(G_i)\ge \alpha[/math]. На остальные [math]i[/math] это распространяется по индукции [math]UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)[/math]. Если [math]UNSAT(G_0)\gt 0[/math], то [math]UNSAT(G_0)\ge \frac 1 {|E_0|}[/math]. Конечно, [math]2^k UNSAT(G_0) \gt \alpha[/math]. Таким образом [math]UNSAT(G_k) \ge \alpha[/math]. Такми образом [math]\rho -GAP2CSP[/math] [math]\mathrm{NP}[/math]-трудная. Достичь обоснованности [math]\frac 1 2[/math] можно последовательным повторением [math]u=\frac 1 {\log(\frac 1 {1 - \alpha})} [/math] раз. Тоесть создать новые условия, представляющие собой [math]AND[/math] всех возможных [math]u[/math]-наборов прежних условий. Конечно, при этом количество запросов на условие увеличится до [math]2u[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Дополнительные материалы

• Linial and A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Lecture notes of a course, 2003.
• Michael Sipser and Daniel A. Spielman. Expander codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 42(6, part 1):1710–1722, 1996. Codes and complexity.
• C. Papadimitriou and M. Yannakakis. Optimization, approximation and complexity classes. Journal of Computer and System Sciences, 3:425–440, 1991.
• Irit Dinur and Omer Reingold. Assignment testers: Towards combinatorial proofs of the PCP theorem. In Proceedings of the 45th Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2004.

Источники

• |The PCP Theorem by Gap Amplification, Irit Dinur, 2005.
• |The PCP Theorem, Notes by Scott Alfeld, 2008.