23
правки
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \leftarrow rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>.
Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>
Существует много различных индикаторов, с помощью которых численно оценивают качество решений. Но широко используется только один.
Пример:
Пусть <tex>\mathrm{r = \left(r_1\right)}</tex> и <tex>d=1</tex>. Тогда <tex>HYP(X) = \prod \limits_{x_i \in X} (x_i-r_1)</tex>.
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \in \mathbb{N}</tex>.
Тогда существует, не обязятельно единственное, множество решения <tex>X \in \mathbb{X}</tex>, которое максимизирует значение <tex>HYP(X)</tex> на <tex>\mathbb{X}</tex>
|proof=
<tex>X=(x_1, x_2, \ldots,x_n)</tex>
<tex>HYP(X)=\sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r)</tex>
Рассмотрим ряд множест решений <tex>\{X^i\}: \lim\limits_{i \rightarrow \infty} (X^i) = X</tex>
<tex>
\lim\limits_{j \rightarrow \infty} HYP(X^j) = \lim\limits_{i \rightarrow \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i^j-x_{i-1}^j)(f(x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(\lim\limits_{i \rightarrow \infty} f(x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r) = HYP(X)
</tex>
Получается, что <tex>HYP(X)</tex> - верхняя полунепрерывная, следовательно экстремум <tex>HYP</tex> достикается на компакте.
}}
== Источники ==
# [http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/4/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. - The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation]
# [http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/3/multiobjectivization.pdf Corne D., Knowles J., Watson R. - Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization]
# [http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009GECCO.pdf Friedrich T., Horoba C., Neumann F. - Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator]
# [ftp://ife.ee.ethz.ch/pub/people/zitzler/ZK2004a.pdf Kunzli S., Zitzle E. - Indicator-Based Selection in Multiobjective Search]
