Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке — различия между версиями
(502 Bad Gateway wtf???) |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
− | |||
− | |||
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | ||
Строка 50: | Строка 48: | ||
Значит, <tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая. | Значит, <tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | === Следствие 2 === | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | ||
− | Тогда <tex> | + | Тогда <tex>s = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex> |
|proof= | |proof= | ||
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера, | <tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера, | ||
− | <tex>\ | + | <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex> |
Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье. | Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье. | ||
− | Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n\ to s</tex>, то и <tex>\ | + | Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n(f, x) \to s</tex>, то и <tex>\sigma_n(f, x) \to s</tex>. |
Тогда, по единственности предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex> | Тогда, по единственности предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex> | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | === Следствие 3 === | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
Строка 71: | Строка 73: | ||
<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex> | <tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\ | + | Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\sigma_n(f) \to f</tex>, <tex>\sigma_n(g) \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равенством сумм, по единственности предела, f=g |
}} | }} |
Версия 15:02, 23 июня 2012
Эта статья находится в разработке!
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что
, что равносильно .Теорема Дини
Теорема (Дини): |
, , — конечен. Тогда |
Доказательство: |
По лемме Римана-Лебега, так как — суммируемая, первое слагаемое при стремится к 0.Так как, по условию, ,Тогда по выбору и по условиям теоремы. по лемме Римана-Лебега, так как — суммируемая, а — ограниченная и суммируемая. |
Выведем некоторые следствия
Следствие о четырех пределах
Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)): |
Пусть в точке существует (левый и правый пределы) и , . Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна |
Примечание: Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке у есть производная.Доказательство сводится к проверке условий Дини для
Первое слагаемое стремится на бесконечности к Значит, , второе — к . ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая. |
Следствие 2
Утверждение: |
Пусть — регулярная точка функции и .
Тогда |
— регулярная точка по следствию теоремы Фейера,
Но суммы Фейера — способ средних арифметических для сумм ряда Фурье. Способ средних арифметических регулярен: то есть, если Тогда, по единственности предела, , то и . |
Следствие 3
Утверждение: |
, , , тогда |
Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности | , , . Тогда, совпоставляя с равенством сумм, по единственности предела, f=g