|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | Теоретические вопросы по III-IV модулям
| |
| − | Дисциплина "Геометрия и алгебра" (весенний семестр)
| |
| | | | |
| − | Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу.
| |
| − |
| |
| − | =Линейные операторы=
| |
| − | == Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.==
| |
| − | '''Линейный оператор''' {{---}} отображение между линейными пространствами, сохраняющее линейную структуру. <br>
| |
| − | Пусть <tex>E_1, E_2</tex> {{---}} линейные пространства. <tex>\mathcal{A}:E_1 \to E_2</tex> называется линейным оператором, если
| |
| − | <tex>\mathcal{A}(\alpha x + \beta y) = \alpha \mathcal{A}x + \beta \mathcal{A}y</tex>. Иногда их называют '''гомоморфизмами'''.
| |
| − | Да, естественно <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> над одним полем <tex>K</tex>, <tex>\alpha, \beta \in K</tex>, <tex>x, y \in E_1</tex>, <tex>\mathcal{A}x, \mathcal{A}y \in E_2</tex>.
| |
| − |
| |
| − | == Пространство линей ных операторов. ==
| |
| − | == Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. ==
| |
| − | == Алгебра операторов и матриц ==
| |
| − | Множество '''всех''' операторов <tex>\mathcal{A}: X \to Y</tex> (<tex>X, Y</tex> над полем <tex>K</tex>) образует линейное пространство. <br>
| |
| − | Это линейное пространство обозначается как <tex>X \times Y</tex> {{---}} '''прямое произведение подпространств'''.
| |
| − |
| |
| − | == Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.==
| |
| − | == Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.==
| |
| − | == Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.==
| |
| − | == Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.==
| |
| − | =Тензорная алгебра=
| |
| − | == Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.==
| |
| − | == Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.==
| |
| − | == Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.==
| |
| − | == Свертка тензора. ==
| |
| − | == Транспонирование тензора.==
| |
| − | == Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.==
| |
| − | == Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.==
| |
| − | =Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве=
| |
| − | == Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.==
| |
| − | == Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.==
| |
| − | == Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление. ==
| |
| − | == Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
| |
| − | == Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
| |
| − | == Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.==
| |
| − | == Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.==
| |
| − | =Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида=
| |
| − | == Ультраинвариантные подпространства.==
| |
| − | == Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.==
| |
| − | == Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.==
| |
| − | == Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.==
| |
| − | == Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.==
| |
| − | == Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. ==
| |
| − | == Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).==
| |
| − | == Жорданова форма матрицы линейного оператора.==
| |
| − | == Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.==
| |
| − | =Евклидово пространство.=
| |
| − | == Метрические, нормированные и евклидовы пространства.==
| |
| − | == Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.==
| |
| − | == Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.==
| |
| − | == Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ==
| |
| − | == Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.==
| |
| − | == Задача о перпендикуляре.==
| |
| − | == Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.==
| |
| − | == Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.==
| |
| − | == Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.==
| |
| − | == Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.==
| |
| − | == Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.==
| |
| − | == Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.==
| |
| − | == Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.==
| |
| − | ==Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.==
| |
| − | == Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.==
| |
| − | == Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.==
| |
| − | == Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.==
| |
| − | == Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.==
| |
| − | == Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.==
| |
