|
Рассмотрим произвольную схему из класса [math]\mathrm{AC^0}[/math]. Допустим, что эта схема распознает язык [math]\oplus[/math]. В силу особенности языка [math]\oplus[/math], распознающая его схема должна зависить от значений всех своих входов. Однако воспользовавшись леммой, можно с вероятностью, отличной от нуля, представить эту схему в виде [math]k[/math]-КНФ или [math]k[/math]-ДНФ, причем [math]k[/math] не зависит от числа входов схемы. Поскольку рассматриваем схему из класса [math]\mathrm{AC^0}[/math], то по определению степень входа не ограничена. Рассмотрим содержательный случай, когда [math]k[/math] меньше числа входов схемы. Заметим, что значение [math]k[/math]-КНФ или [math]k[/math]-ДНФ можно сделать постоянным, зафиксировав значение не более, чем [math]k[/math] входов. Для этого достаточно зафиксировать значение лишь одного дизъюнкта или конъюнкта соответственно. Если с вероятностью [math]\frac{1}{2}[/math] входу полученной схемы назначается значение, то с вероятностью не менее [math]\frac{1}{2^k}[/math] значение схемы будет постоянным. Поскольку эта вероятность больше нуля, то для произвольной схемы из класса [math]\mathrm{AC^0}[/math] можно подобрать значения части входов так, чтобы значение функции было постоянным,
поэтому ни одна схема из этого класса не может распознавать язык [math]\oplus[/math].
Покажем, как представить схему из класса [math]\mathrm{AC^0}[/math] в виде [math]k[/math]-КНФ или [math]k[/math]-ДНФ. Не умаляя общности, будем считать, что:
- Выходная степень каждого элемента равна [math]1[/math].
- Схема не содержит элементов [math]\neg[/math]. В самом деле, вместо схемы с элементами [math]\neg[/math] можно рассмотреть эквивалентную ей схему из класса [math]\mathrm{AC^0}[/math] с удвоенным числом входов, причем значения, подаваемые на добавленные входы будут противоположны значениям, подаваемым на исходные входы схемы.
- Элементы [math]\lor[/math] и [math]\land[/math] чередуются. Значит, схему можно разбить на уровни так, что на каждом уровне все элементы будут одинаковыми.
- Все входы лежат на одном уровне. Нижний уровень схемы состоит из [math]\land[/math] элементов с единичной степенью входа.
Построим итеративный процесс, на каждом шаге которого можно с высокой вероятностью уменьшить глубину схемы на [math]1[/math]. Пусть [math]d~-[/math] глубина схемы, а [math]n_0~-[/math] число входов схемы. Выберем минимальное целое [math]b[/math] так, чтобы [math]n_0^b[/math] было не меньше, чем число элементов в схеме. Обозначим [math]n_i~-[/math] число входов схемы после [math]i[/math]-го шага. Возьмем [math]k_i=10b\cdot2^i.[/math]
 Схема на [math]i[/math]-ом шаге. Докажем по индукции, что после [math]i[/math]-ого шага с достаточно большой вероятностью глубина схемы будет [math]d - i[/math], причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить [math]k_i[/math].
- База индукции верна. Глубина исходной схемы равна [math]d[/math], а входная степень каждого элемента равна [math]1[/math], что меньше [math]k_0 = 10b.[/math]
- Индукционный переход. Допустим, что после [math]i[/math]-ого шага глубина схемы будет [math]d - i[/math], причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить [math]k_i[/math]. Если нижний уровень схемы состоит из [math]\land[/math] элементов, тогда уровень выше [math]-[/math] из элементов [math]\lor[/math]. Каждый [math]\lor[/math] элемент можно считать [math]k_i[/math]-ДНФ. Воспользуемся леммой. Пусть [math]s = k_{i+1}[/math], [math]n~-[/math] число входов схемы, соответствующих рассматриваемому элементу [math]\lor[/math]. Тогда в качестве [math]t[/math] возьмем [math]n - \frac{n}{\sqrt{n_i}}[/math]. Значит, с вероятностью не менее [math]\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2}[/math] функцию нельзя представить в виде [math]k_{i+1}[/math]-КНФ. Поскольку [math]t[/math] выбиралось таким образом, то при переходе к следующему шагу число входов схемы уменьшилось в [math]\sqrt{n_i}[/math] раз, поэтому [math]n_i = n_0^{1/2^i}.[/math] Тогда при достаточно больших [math]n_0[/math] верно, что [math]\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2} = \left(\frac{k_i^{10}}{n_0^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2} \le \frac{1}{10n_0^b}[/math]. В итоге получаем, что [math]k_i[/math]-ДНФ можно переписать в виде [math]k_{i+1}[/math]-КНФ с вероятностью не менее [math]1 - \frac{1}{10n_0^b}[/math]. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из [math]\land[/math] элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на [math]1[/math]. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из [math]\lor[/math] элементов.
 Схема после применения леммы. |
