Изменения

Рассмотрим вершину <tex> u </tex> отличную от истока и стока. Изначально <tex> h(u) = 0 \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Покажем, что после любой операции подъема <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Для того, чтобы мы имели право произвести операцию <tex> relabel(u) </tex>, вершина <tex> u </tex> должна быть переполнена. Тогда по [[#Лемма4|лемме(4)]] существует простой путь <tex> p </tex> из <tex> u </tex> в <tex> s </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex>. Рассмотрим этот путь. Пусть <tex> p = (\left\langle v_0, v_1, \dots, v_k)\right\rangle </tex>, где <tex> v_0 = u </tex> и <tex> v_k = s </tex>. Так как путь <tex> p </tex> простой, то <tex> k \leqslant \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. По определению функции высоты имеем, что <tex> \forall i \in \{0, 1, \dots, k - 1\} </tex> <tex> h(v_i) \leqslant h(v_{i+1}) + 1</tex>. Но тогда для вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> верно, что <tex> h(u) \leqslant h(s) + \left\vert V \right\vert - 1 = 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>}}  На основании предыдущей леммы покажем верхнюю границу числа подъемов. {{Лемма|about = 6|id = Лемма6|statement = Пусть <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. Тогда во время выполнения алгоритма <tex> pushRealbelMaxFlow </tex> общее число подъемов не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>|proof = Так как высоты истока и стока не изменяются в процессе работы алгоритма, то только <tex> \left\vert V \right\vert - 2 </tex> вершин могут быть подняты. Пусть <tex> u \in V \setminus \{s, t\}</tex>. Изначально <tex> h(u) = 0 </tex>, и по [[#Лемма5|лемме(5)]] известно, что <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. А так как при выполнении операции <tex> relabel(u) </tex> высота вершины увеличивается как минимум на единицу, то максимальное количество подъемов вершины <tex> u </tex> также не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Тогда суммарно число подъемов не превышает <tex> (\left\vert V \right\vert - 2 ) \cdot (2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>.