Схема Бернулли

Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение

Определение:

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через [math] v_{n} [/math] число успехов, случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от нуля до n в зависимости от результатов испытаний. Например, если все n испытаний завершились неудачей, то величина [math] v_{n} [/math] равна нулю.

Теорема:

(формула Бернулли). Для любого k = 0, 1, . . . , n вероятность получить в n испытаниях k успехов равна P([math]v_{n} [/math] = k) = [math]\binom{n}{k}[/math] [math] p ^ {k} [/math] [math] q ^ {n - k}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Событие A = {[math] v_{n} [/math] = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события A: когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна [math] p ^ {k} [/math] [math] (1-p) ^ {n - k} [/math] Другие элементарные исходы из события A отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно [math]\binom{n}{k}[/math] cпособов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из [math]\binom{n}{k}[/math] элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна [math] p ^ {k} [/math] [math] q ^ {n - k}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Правильная монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз.

Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.

P([math]v_{10}[/math] = 4) = [math]\binom{10}{4}[/math] [math] (1/2)^ {4} [/math] [math] (1/2)^ {10 - 4} [/math] ≈ 0,205;

P([math]v_{10}[/math] = 5) = [math]\binom{10}{5}[/math] [math] (1/2)^ {5} [/math] [math] (1/2)^ {10 - 5}[/math] ≈ 0,246;

P([math]v_{10}[/math] = 6) = [math]\binom{10}{6}[/math] [math] (1/2)^ {6} [/math] [math] (1/2)^ {10 - 6} [/math] ≈ 0,205;

Сложим вероятности несовместных событий: P(4<= [math] v_{10}[/math] <= 6) = P([math] v_{10} [/math] = 4) + P([math] v_{10} [/math] = 5) + P([math] v_{10} [/math] = 6) ≈ 0,656.