Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список недописанных теорем

Признак Вейерштрасса — доказательство

Теорема Стокса--Зайдля для рядов — доказательство

Теорема об интегрировании функционального ряда — доказательство

Теорема о дифференцировании функционального ряда — формулировка (проверить), доказательство

Теорема о почленном предельном переходе в суммах — доказательство

Теорема о перестановке пределов — доказательство

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда — доказательство

Метод суммирования Абеля — доказательство

Теорема о круге сходимости степенного ряда — формулировка, доказательство

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда — формулировка, доказательство

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана — формулировка, доказательство

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда — (проверить формулировку), доказательство

Экспонента, синус, косинус. Свойства. — доказательство

Необходимое условие дифференцируемости. — формулировка, доказательство

Достаточное условие дифференцируемости — формулировка, доказательство

Лемма об оценке нормы линейного оператора — доказательство

Дифференцирование композиции — доказательство

Дифференцирование ``произведений`` — доказательство

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций — доказательство

Экстремальное свойство градиента — доказательство

Независимость частных производных от порядка дифференцирования — доказательство

Полиномиальная формула — доказательство

Лемма о дифференцировании ``сдвига`` — доказательство

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) — доказательство

Теорема о пространстве линейных отображений — формулировка, доказательство

Теорема Лагранжа для отображений — доказательство

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обрати — формулировка, доказательствомому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях — формулировка, доказательство

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — формулировка, доказательство

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах — формулировка, доказательство

Достаточное условие экстремума — формулировка, доказательство

Лемма о почти локальной инъективности — формулировка, доказательство

Теорема о сохранении области — формулировка, доказательство

Теорема о диффеоморфизме — формулировка, доказательство

Теорема о локальной обратимости — формулировка, доказательство

Теорема о неявном отображении — формулировка, доказательство

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений — формулировка, доказательство

Необходимое условие относительного локального экстремума — формулировка, доказательство

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел — формулировка, доказательство

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути — формулировка, доказательство

Обобщенная формула Ньютона--Лебница — формулировка, доказательство

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов — формулировка, доказательство

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру — формулировка, доказательство

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре — формулировка, доказательство

Лемма о гусенице — формулировка, доказательство

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям — формулировка, доказательство

Лемма о похожести путей, близких к данному — формулировка, доказательство

Равенство интегралов по гомотопным путям — формулировка, доказательство

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре — формулировка, доказательство

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ — формулировка, доказательство

Лемма о локализации (в методе Лапласа) — формулировка, доказательство

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов — формулировка, доказательство

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами — формулировка, доказательство

Формула Стирлинга для Гамма-функции — формулировка, доказательство

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c(x) [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

[math]\triangleleft[/math]

//критерий Коши — это, блин, што?

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math].

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a; b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Проверить пункты про сходимость

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). [math] \sum u_n(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. [math] \sum u'_n(x) = \varphi(x)[/math] при [math] x \in [a, b] [/math],[math] \sum u'_n(x) [/math] — равномерно сходится на [math] [a; b] [/math] к [math] \varphi(x) [/math]. Тогда [math] S(x) \in C'([a, b]) [/math] и [math] S'(x) = \phi(x) [/math].

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] (или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]) 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Рассмотрим ряды [math] \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n (z - z_0)^n = f(z), \ R \in [0; + \infty], \ |z - z_0| \lt R [/math] и [math] (\sum_{n=1}^{+ \infty} n a_n(z - z_0)^{n-1} [/math] Тогда: 1) радиус сходимости второго ряда равен [math] R [/math] 2) при [math] |z - z_0| \lt R \ f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} [/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

[math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

[math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} [/math]

[math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} [/math]

[math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

[math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

[math] \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) [/math]

[math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

[math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

[math] |T(x)| = 1 [/math]

[math] \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 [/math]

[math] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... [/math]

[math] \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...[/math]

[math] |x| \lt 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть [math] A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math] — линейный оператор. Тогда [math] \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = c_A || x || [/math], где [math] c_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} [/math] ([math] a_{i, j} [/math] — элементы его матрицы)

Дифференцирование композиции

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I [/math], [math] G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I [/math], [math] F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], [math] G [/math] дифференцируемо в [math] b [/math]. Тогда [math] G \circ F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], и при этом [math] (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) ⋅ F'(a) [/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть [math] F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] \lambda: E \to \mathbb{R} [/math], [math] a \in \operatorname{Int} E [/math], [math] F, G, \lambda [/math] — дифференцируемые в [math] a [/math]. тогда: 1) [math] (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) [/math] 2) [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle [/math] (здесь [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] — скалярное произведение [math] a [/math] и [math] b [/math])

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

Пусть [math] a, b \in \mathbb{R} [/math], [math] a \lt b [/math], вектор-функция [math] f: [a, b] \to \mathbb{R}^m [/math] непрерывна на [math] [a, b] [/math] и дифференцируема на [math] (a, b) [/math]. Тогда найдётся такая точка [math] c \in (a, b) [/math], что [math] || f(b) - f(a) || \leqslant || f'(c) || \cdot |b - a| [/math].

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

Пусть функция [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math] дифференцируема в точке [math] x \in \operatorname{Int} D, \ \operatorname{grad} f(x) \neq \mathbb{O}_n [/math]. Тогда для любого [math] h \in \mathbb{R}^n: |h| = 1[/math] верно [math] \ -|\operatorname{grad} f(x)| \leqslant D_h f(x) \leqslant | \operatorname{grad} f(x)| [/math].

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

Пусть [math] r - 1 \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{r} (D), \ i_1, ... , i_r \in [1 : n] [/math], набор [math] (j_1, ..., j_r) [/math] получен из набора [math] (i_1, ... , i_r) [/math] перестановкой. Тогда для всех [math] x \in D [/math] верно [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{j_1, ..., j_r}^r f(x) [/math].

Полиномиальная формула

Лемма:

Если [math] r \in \mathbb{Z}_+ [/math], [math] a [/math] — мультииндекс, то [math] (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} [/math]

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} [/math], [math] E [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^m [/math], [math] \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m [/math], так, что [math] \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E [/math]. Также [math] f \in C^r(E) [/math]. Пусть [math] \varphi (t) = f(a + th) [/math]. Тогда [math] \forall t_0 \in (-1; 1) [/math] верно [math] \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} [/math].

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{R}_+ [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D [/math]. Тогда существует такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math].

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math].

Пеано:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r)} (D), \ x \in D [/math]. Тогда [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math].

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], отображение [math] f: D \to \mathbb{R}^m [/math] дифференцируемо на [math] D [/math], [math] \overline{a, b} \subset D [/math] ([math] \overline{a, b} = \{a + t(b - a): t \in [0, 1]\} [/math] называется отрезком с концами [math] a [/math] и <tex< b </tex>). Тогда найдётся такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] |f(b) - f(a)| \leqslant || f'(a + \theta(b - a)) || \cdot |b - a| [/math].

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Дана система из [math] n [/math] уравнений для функций от [math] m + n [/math] переменных. Функции дифференцируемы [math] n [/math] раз. [math] \begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases} [/math] [math] \frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} [/math] Пусть [math] (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) [/math] удовлетворяет системе, [math] \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 [/math]. Тогда существует [math] u(a) \subset \mathbb{R}^m [/math] и существует единственная функция [math] \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n [/math] такие, что [math] \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) [/math] удовлетворяет системе.

Определения и факты

Список определений

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Локальный максимум, минимум, экстремум

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций [math] f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) [/math] называется равномерно сходящейся на множестве [math] X [/math], если существует предельная функция [math] f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) [/math] и для любого числа [math] \varepsilon \gt 0 [/math] можно указать число [math] N = N(\varepsilon) [/math] такое, что [math] |f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon [/math] при [math] n \gt N [/math] и [math] x \in X [/math]. В этом случае пишут [math] f_n(x) \rightrightarrows f(x) [/math]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [math] X [/math], если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/view/

Формула Адамара

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)

Комплексная производная

http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)

Экспонента синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] [/math]. Производная [math] \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) [/math] (где [math] e^k [/math] — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции [math] f [/math] по [math] k [/math]-ой переменной в точке [math] x [/math] и обозначается ещё [math] D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) [/math].

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что [math] r - a \in \mathbb{R} [/math] и частные производные порядка [math] r - 1 [/math] уже определены. Пусть [math] i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D [/math]. Частная производная функции [math] f [/math] порядка [math] r [/math] по переменным с номерами [math] i_1, ..., i_r [/math] в точке [math] x [/math] определяется равенством [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) [/math], если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, [math] r [/math] раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве [math] D [/math] пространства [math] \mathbb{R}^n [/math], обозначается [math] C^{(r)} (D) [/math] или [math] C^r (D) [/math]. По определению [math] C^0 (D) = C(D) [/math] — класс непрерывных на [math] D [/math] функций. Через [math] C^{(\infty)} (D) [/math] обозначается класс бесконечно дифференцируемых на [math] D [/math] функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор [math] k \in \mathbb{Z}_+^n [/math] называют мультииндексом. Величину [math] (k) = k_1 + ... + k_n [/math] называют высотой мультииндекса [math] k [/math].

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают [math] D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} [/math]. Также полагают [math] k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! [/math], [math] h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} [/math], где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

[math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math]

С остатком в интегральной форме:

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt [/math]

Формула в дифференциалах:

[math] f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) [/math]

Формула в координатах:

[math] f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) [/math]

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) [/math]. Тогда: [math] df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m [/math] [math] d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... [/math] [math] d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... [/math] [math] d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} [/math], где [math] c_{i_1, ..., i_r} [/math] — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=52

Диффеоморфизм

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC