Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список теорем

Ненаписанные теоремы

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Необходимое условие дифференцируемости

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — нет теоремы Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах — не знаю, что хотел Костик, но знаю, что знает Виноградов

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Достаточное условие экстремума

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теоремы без доказательств

Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование «произведений»

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании ``сдвига``

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема Лагранжа для отображений

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о локальной обратимости

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c(x) [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

[math]\triangleleft[/math]

//критерий Коши — это, блин, што?

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math].

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a; b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Проверить пункты про сходимость

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). [math] \sum u_n(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. [math] \sum u'_n(x) = \varphi(x)[/math] при [math] x \in [a, b] [/math],[math] \sum u'_n(x) [/math] — равномерно сходится на [math] [a; b] [/math] к [math] \varphi(x) [/math]. Тогда [math] S(x) \in C'([a, b]) [/math] и [math] S'(x) = \varphi(x) [/math].

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] (или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]) 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Рассмотрим ряды [math] \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n (z - z_0)^n = f(z), \ R \in [0; + \infty], \ |z - z_0| \lt R [/math] и [math] (\sum_{n=1}^{+ \infty} n a_n(z - z_0)^{n-1} [/math] Тогда: 1) радиус сходимости второго ряда равен [math] R [/math] 2) при [math] |z - z_0| \lt R \ f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} [/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

[math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

[math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} [/math]

[math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} [/math]

[math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

[math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

[math] \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) [/math]

[math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

[math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

[math] |T(x)| = 1 [/math]

[math] \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 [/math]

[math] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... [/math]

[math] \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...[/math]

[math] |x| \lt 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть [math] A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math] — линейный оператор. Тогда [math] \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = c_A || x || [/math], где [math] c_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} [/math] ([math] a_{i, j} [/math] — элементы его матрицы)

Дифференцирование композиции

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I [/math], [math] G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I [/math], [math] F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], [math] G [/math] дифференцируемо в [math] b [/math]. Тогда [math] G \circ F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], и при этом [math] (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) ⋅ F'(a) [/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть [math] F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] \lambda: E \to \mathbb{R} [/math], [math] a \in \operatorname{Int} E [/math], [math] F, G, \lambda [/math] — дифференцируемые в [math] a [/math]. тогда: 1) [math] (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) [/math] 2) [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle [/math] (здесь [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] — скалярное произведение [math] a [/math] и [math] b [/math])

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

Пусть [math] a, b \in \mathbb{R} [/math], [math] a \lt b [/math], вектор-функция [math] f: [a, b] \to \mathbb{R}^m [/math] непрерывна на [math] [a, b] [/math] и дифференцируема на [math] (a, b) [/math]. Тогда найдётся такая точка [math] c \in (a, b) [/math], что [math] || f(b) - f(a) || \leqslant || f'(c) || \cdot |b - a| [/math].

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

Пусть функция [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math] дифференцируема в точке [math] x \in \operatorname{Int} D, \ \operatorname{grad} f(x) \neq \mathbb{O}_n [/math]. Тогда для любого [math] h \in \mathbb{R}^n: |h| = 1[/math] верно [math] \ -|\operatorname{grad} f(x)| \leqslant D_h f(x) \leqslant | \operatorname{grad} f(x)| [/math].

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

Пусть [math] r - 1 \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{r} (D), \ i_1, ... , i_r \in [1 : n] [/math], набор [math] (j_1, ..., j_r) [/math] получен из набора [math] (i_1, ... , i_r) [/math] перестановкой. Тогда для всех [math] x \in D [/math] верно [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{j_1, ..., j_r}^r f(x) [/math].

Полиномиальная формула

Лемма:

Если [math] r \in \mathbb{Z}_+ [/math], [math] a [/math] — мультииндекс, то [math] (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} [/math]

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} [/math], [math] E [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^m [/math], [math] \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m [/math], так, что [math] \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E [/math]. Также [math] f \in C^r(E) [/math]. Пусть [math] \varphi (t) = f(a + th) [/math]. Тогда [math] \forall t_0 \in (-1; 1) [/math] верно [math] \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} [/math].

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{R}_+ [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D [/math]. Тогда существует такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math].

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math].

Пеано:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r)} (D), \ x \in D [/math]. Тогда [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math].

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], отображение [math] f: D \to \mathbb{R}^m [/math] дифференцируемо на [math] D [/math], [math] \overline{a, b} \subset D [/math] ([math] \overline{a, b} = \{a + t(b - a): t \in [0, 1]\} [/math] называется отрезком с концами [math] a [/math] и <tex< b </tex>). Тогда найдётся такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] |f(b) - f(a)| \leqslant || f'(a + \theta(b - a)) || \cdot |b - a| [/math].

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть [math] A \in \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] ([math] \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] — множество обратимых линейных операторов в [math] \mathbb{R}^n [/math]), [math] B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || \lt \frac{1}{||A^{-1}||} [/math]. Тогда: 1) [math] B \in \Omega (\mathbb{R}^n) [/math]; 2) [math] ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} [/math]; 3) [math] ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| [/math].

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Теорема:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \operatorname{Int} D [/math] — точка экстремума [math] f, \ k \in [1 : n] [/math]. Тогда если [math] D_k f(x_0) [/math] существует, то [math] D_k f(x_0) = 0 [/math].

Теорема Ролля — ???

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Наверное, это не совсем то

Утверждение:

Если форма [math] K [/math] положительно определена, то существует такое [math] \gamma \gt 0 [/math], что [math] K(h) \geqslant \gamma |h|^2 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(2)}(D), \ x_0 \in D [/math] — стационарная точка [math] f [/math] (то есть [math] \nabla f(x_0) = \mathbb{O}_n [/math]). Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] положительно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого минимума [math] f [/math]. 2) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] отрицательно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого максимума [math] f [/math]. 3) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] неопределённая, то [math] x_0 [/math] — не точка экстремума [math] f [/math].

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math] — диффеоморфизм, [math] x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 [/math]. Тогда [math] \exists c, \delta \gt 0 \ \forall h: |h| \lt \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| [/math]

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто — диффеоморфизм в [math] O [/math], [math] \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда [math] F(O) [/math] открыто.

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) [/math], [math] F [/math] — обратима и невырождена, [math] \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда: 1) [math] F^{-1} \in C^r [/math] 2) [math] y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} (y_0) [/math]

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, [math] F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) [/math] (т.е. [math] F [/math] 1 раз непрерывно дифференцируемо на [math] O [/math], а его первая производная непрерывна на [math] D [/math]), [math] x_0 \in O, \ \det F'(x_0) \neq 0 [/math]. Тогда [math] \exists U(x_0): \ F | _U [/math] — диффеоморфизм ([math] F |_U [/math] или [math] F|U [/math] — сужение отображения [math] F [/math] на множество [math] U [/math]).

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 [/math]. Пусть известно, что [math] F'_y (a, b) [/math] невырождено ([math] \det F'_y (a, b) \neq 0 [/math]). Тогда: 1) существуют открытые [math] P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q [/math], и существует единственное [math] \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r [/math], что [math] \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 [/math] 2) [math] \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) [/math]

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть [math] M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k \lt m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty [/math] (гладкое многообразие), [math] p \in M [/math]. Эквивалентные утверждения: 1) [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие 2) [math] \exists \tilde{U}(p) [/math] и существуют функции [math] f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} [/math] класса [math] C^r [/math], для которых выполняются условия: 2.1) [math] x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 [/math] 2.2) [math] \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} [/math] — линейно независимые

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n [/math]. Пусть [math] f [/math] имеет в точке [math] a [/math] локальный относительный экстремум. Тогда [math] \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n [/math], что [math] \begin{cases} f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\ \Phi(a) = \mathbb{O}_n \end{cases} [/math]

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть [math] A \in \mathcal{L}_{m, n} [/math]. Тогда [math] || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda [/math] — собственное число [math] A^T \cdot A \} [/math].

Определения и факты

Список определений

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций [math] f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) [/math] называется равномерно сходящейся на множестве [math] X [/math], если существует предельная функция [math] f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) [/math] и для любого числа [math] \varepsilon \gt 0 [/math] можно указать число [math] N = N(\varepsilon) [/math] такое, что [math] |f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon [/math] при [math] n \gt N [/math] и [math] x \in X [/math]. В этом случае пишут [math] f_n(x) \rightrightarrows f(x) [/math]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [math] X [/math], если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/view/

Формула Адамара

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)

Комплексная производная

http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)

Экспонента синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] [/math]. Производная [math] \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) [/math] (где [math] e^k [/math] — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции [math] f [/math] по [math] k [/math]-ой переменной в точке [math] x [/math] и обозначается ещё [math] D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) [/math].

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что [math] r - a \in \mathbb{R} [/math] и частные производные порядка [math] r - 1 [/math] уже определены. Пусть [math] i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D [/math]. Частная производная функции [math] f [/math] порядка [math] r [/math] по переменным с номерами [math] i_1, ..., i_r [/math] в точке [math] x [/math] определяется равенством [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) [/math], если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, [math] r [/math] раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве [math] D [/math] пространства [math] \mathbb{R}^n [/math], обозначается [math] C^{(r)} (D) [/math] или [math] C^r (D) [/math]. По определению [math] C^0 (D) = C(D) [/math] — класс непрерывных на [math] D [/math] функций. Через [math] C^{(\infty)} (D) [/math] обозначается класс бесконечно дифференцируемых на [math] D [/math] функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор [math] k \in \mathbb{Z}_+^n [/math] называют мультииндексом. Величину [math] (k) = k_1 + ... + k_n [/math] называют высотой мультииндекса [math] k [/math].

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают [math] D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} [/math]. Также полагают [math] k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! [/math], [math] h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} [/math], где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

[math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math]

С остатком в интегральной форме:

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt [/math]

Формула в дифференциалах:

[math] f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) [/math]

Формула в координатах:

[math] f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) [/math]

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) [/math]. Тогда: [math] df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m [/math] [math] d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... [/math] [math] d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... [/math] [math] d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} [/math], где [math] c_{i_1, ..., i_r} [/math] — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D [/math]. Если существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] выполняется неравенство: [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой максимума функции [math] f [/math]; [math] f(x) \lt f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой строгого максимума функции [math] f [/math]. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если [math] x_0 [/math] является точкой (строгого) максимума или минимума функции [math] f [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой (строгого) экстремума [math] f [/math].

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть [math] K [/math] — квадратичная форма от [math] n [/math] переменных. 1) Если [math] K(h) \gt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно определённой. 2) Если [math] K(h) \lt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется отрицательно определённой. 3) Если форма [math] K [/math] принимает значения разных знаков, то [math] K [/math] называется неопределённой. 4) Если [math] K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math] и существует такое [math] h \neq \mathbb{O}_n [/math], что [math] K(h) = 0 [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в нуле, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из [math] n [/math] уравнений для функций от [math] m + n [/math] переменных. Функции дифференцируемы [math] n [/math] раз. [math] \begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases} [/math] [math] \frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} [/math] Пусть [math] (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) [/math] удовлетворяет системе, [math] \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 [/math]. Тогда существует [math] u(a) \subset \mathbb{R}^m [/math] и существует единственное отображение [math] \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n [/math] такие, что [math] \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) [/math] удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

[math] M \subset \mathbb{R}^m [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие, если [math] \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M [/math]. [math] \Phi [/math] называется параметризацией. Если [math] \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k [/math] ([math] \operatorname{rg} [/math] — ранг), то [math] M [/math] — простое гладкое (класса [math] C^r [/math]) [math] k [/math]-мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} [/math] ([math] \Phi(x) = \mathbb{O}_n [/math] — уравнение связи). Тогда [math] p \in H_{\Phi} [/math] — локальный относительный (условный) экстремум [math] f [/math] при условии [math] \Phi = \mathbb{O}_n [/math]. Это значит, что [math] p [/math] — локальный экстремум [math] f | _{H_\Phi} [/math]. Если [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) \gt f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий), если [math] f(x) \geqslant f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D [/math]. Если [math] \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m [/math] и существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math], удовлетворяющего условию [math] \Phi(x) = \mathbb{O}_m [/math], выполняется равенство [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой условного или относительного максимума функции [math] f [/math] при условии связи [math] \Phi (x) = \mathbb{O}_m [/math].

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки [math] a [/math] выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть [math] h = (h_1, ..., h_{m+n}) [/math] — решение уравнения [math] \Phi'(a) h = 0 [/math]. Рассмотрим квадратичную форму [math] Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a [/math], где [math] G [/math] — функция Лагранжа ([math] G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) [/math], [math] \varphi_i [/math] — условия), где [math] \lambda_1, ... \lambda_n [/math] взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если [math] Q [/math]: 1) положительно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то [math] a [/math] — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли [math] a [/math] точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — [math] \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M [/math], непрерывное [math] L = \varphi([a; b]) [/math] — носитель пути («кривая») [math] \varphi [/math] — кусочно-гладкий путь, если существует дробление [math] t_0 = a \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] такое, что [math] \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} [/math] — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

[math] V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] E [/math] открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля [math] V [/math] — гладкое векторное поле, если [math] V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) [/math] Пусть [math] V [/math] — непрерывное векторное поле в [math] E [/math], [math] \gamma [/math] — кусочно-гладкий путь в [math] E [/math]: [math] \gamma: [a; b] \to E [/math]. Тогда интеграл векторного поля по пути [math] \gamma [/math] равен [math] I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) [/math], где [math] x_i = \gamma_i(t) [/math].

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] ([math] O [/math] — область). [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально в [math] O [/math], если существует потенциал [math] F: O \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] F [/math] дифференцируемо в [math] O [/math], такой, что [math] \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] [/math].

Потенциал векторного поля

Определение:

[math] F [/math] из предыдущего определения — потенциал.