Классы чисел

Эта статья находится в разработке!

Определение натуральных чисел

Неформатное определение

Определение:

Натура́льные чи́сла (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Аксиомы Пеано

Определение:

Множество $\mathbb N$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент $1\in\mathbb N$ (единица) и функция $S\colon\mathbb N\to\mathbb N$ (функция следования) так, что выполнены следующие условия $1\in\mathbb{N}$ ($1$ является натуральным числом); Если $x\in\mathbb{N}$, то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным); $\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом); Если $S(b)=a$ и $S(c)=a$, тогда $b=c$ (если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$, так и за числом $c$, то $b=c$); Аксиома индукции. Пусть $P(n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $n$. Тогда: если $P(1)$ и $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$, то $\forall n\;P(n)$ (Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ при допущении, что верно $P(n)$, верно и $P(n+1)$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$).

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• $0=\varnothing$
• $S(n)=n\cup\left\{n\right\}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

• $0=\varnothing$
• $1=\left\{\varnothing\right\}$
• $2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
• $3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел

Определение целых чисел

Определение:

Множество целых чисел $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ определяется как замыкание множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-).

Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n ($n\in\mathbb{N}$) и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500).

Определение рациональных чисел

Определение:

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$ и может быть записано в виде: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.$

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$, входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.$

Здесь $\gcd(m, n)$ — наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа $a=\frac{m}{n}$ знаменатель $n=1$, то $a=m$ является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Определение вещественных чисел

Веще́ственное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R (полужирное «R»), или $\mathbb{R}$ (blackboard bold «R») от realis — действительный.

Определение комплексных чисел

Определение:

Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x+iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица (одно из решений уравнения $x^2 = -1$).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

Операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня

Сложение

Определение:

Сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a+b.

Сложение обладает следующими свойствами:

• коммутативностью (переместительный закон): $a + b = b + a$
• ассоциативностью (сочетательный закон): $(a + b) + c = a + (b + c)$
• дистрибутивностью относительно умножения (распределительный закон): $a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$