Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список теорем

Теоремы без доказательств

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд $\sum u_n(x)$, где $u_n : E \rightarrow \mathbb{R}$ ($E$— метрическое пространство). Пусть есть ряд $\sum c_n$ — сходящийся, такой, что $\forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n$. Тогда $\sum u_n(x)$ равномерно сходится на $E$.

Доказательство:

$\triangleright$

$M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0$

$\triangleleft$

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд $\sum u_n(x)$, где $u_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ ( $X$ — метрическое пространство), равномерно сходится на $X$. Пусть есть точка $x_0 \in X$, такая, что все $u_n$ непрерывны в $(\cdot) x_0$. Тогда $S(x) = \sum u_n(x)$ непрерывна в точке $(\cdot) x_0$.

Доказательство:

$\triangleright$

1) $S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x)$ — непрерывна в $(\cdot) x_0$ 2) $S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S$ из 1) и 2) $\Rightarrow S(x)$ непрерывна в $(\cdot) x_0$

$\triangleleft$

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть $u_n \in C[a, b]$ ($C$ — множество непрерывных функций), $\sum u_n(x)$ равномерно сходится на $[a; b]$, $S(x) = \sum u_n(x)$. Тогда$*$ $\int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx$ $*$ 1) $S(x)$ — непрерывно $\rightarrow$ интеграл имеет смысл. 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.

Доказательство:

$\triangleright$

$S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx$ Сделаем предельный переход по $N$ $S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx$

$\triangleleft$

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема:

Пусть $u_n \in C'[a; b]$ ($C'$ — множество непрерывно дифференцируемых функций). 1) $\sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x)$ поточечно сходится на $[a; b]$ 2) $\sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)$ равномерно сходится при $x \in [a, b]$ Тогда $S(x) \in C'[a, b]$ и $S'(x) = \varphi(x)$.

Доказательство:

$\triangleright$

Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр). $(\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b]$ $f_n \to f$ — поточечно на $[a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi$ при $n \to +\infty, x \in [a, b]$ Тогда $f$ — дифф. на $[a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x)$. $\begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix}$ Тогда $S' = \Phi$

$\triangleleft$

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть $u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle$. 1) $\exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n$ 2) $\sum u_n(x)$ равномерно сходится на $\left \langle a, b \right \rangle$ Тогда 1) $\sum a_n$ — сходится 2) $\sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) )$

Доказательство:

$\triangleright$

1) $S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)}$ — имеет предел Критерий Больцано-Коши $\lim S_n^{(a)} = S^{(a)}$ $\forall \epsilon \gt 0 \ \exists N \ \forall n \gt N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \lt \epsilon$ $|S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}|$ Берём $\forall \epsilon \gt 0$ из р. сх-ти $\exists N \ \forall n \gt N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| \lt \frac{\epsilon}{3}$ $|S_n(x) - S(x)| \lt \frac{\epsilon}{6}$ $|S_{n + p}(x) - S(x)| \lt \frac{\epsilon}{6}$ При данном $n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)}$ Выберем $x$ так близко к $x_0$, чтобы $\begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| \lt \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| \lt \frac{\epsilon}{3} \end{matrix}$ $u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}$ — непр. равномерно в $(\cdot) x_0$ $\sum \hat{u}_n(x)$ — р. сх. на $\langle a, b \rangle$ Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов $M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0$

$\triangleleft$

Теорема о перестановке пределов

($\lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty}$)

Теорема:

Пусть $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0 \in X$ [или даже $x_0$ — предельная точка $X$] 1) $f_n(x)$ сходится равномерно к $S(x)$ при $n \to + \infty, \ x \in X$ 2) $f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n$ Тогда 1) $\exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R}$ 2) $S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A$

Доказательство:

$\triangleright$

$u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2;$ Тогда: $f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x)$ Условие 1: $\sum u_n$ р. сх. к сумме $S(x)$ $u_n = f_n - f_{n - 1}$ Условие 2: $lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1}$ (при $n = 1$ проявить сообразительность) $A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k$ по теореме о почл. пр. переходе в суммах: 1) $\sum a_k$ — сх., т.е. $\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A$ 2) $\sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x))$ $S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A$

$\triangleleft$

Замечание: верна теорема $f(x, y)$

$lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y))$

при условии 1: $\exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x)$ — и этот предел равномерный

$\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)$

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд $\sum a_n(x) b_n(x)$, $x \in X$ 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. $\exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a$ 2) $b_n(x)$ монотонна по $n$ и равномерно сходится к $0$ Тогда $\sum a_n(x) b_n(x)$ равномерно сходится на $X$.

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть $\sum a_n$ сходится. Рассмотрим функцию $f(x) = \sum a_n x^n$. Тогда $\sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x)$.

Доказательство:

$\triangleright$

$a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]$ $\sum a_n b_n$ — по признаку Абеля равномерно сх-ся $[0, 1]$ $lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n$

$\triangleleft$

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема:

Пусть $(A)$ $\sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k$ — произвольный степенной ряд $[ a_k \in \mathbb{C}, z$ — комплексная переменная $]$ или $[ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ]$ Возможны три случая: 1) $\forall z \in \mathbb{C}$ ряд $(A)$ сходится 2) $(A)$ сходится только при $z = z_0$ 3) $\exists R$ $0 \lt R \lt + \infty$ при $|z - z_0| \lt R$ сходится $|z - z_0| \gt R$ расходится $R$ — радиус сходимости

Доказательство:

$\triangleright$

Нужно доказать абсолютную сходимость $\sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k$ Признак Коши: $\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 1) $\overline{lim} = 0$ при всех $z$ ряд $(A)$ сходится абсолютно 2) $\overline{lim} = + \infty$ при $z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0$, т.е. ряд сходится при $z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty$ расходится (слагаемые $\nrightarrow 0$) 3) $\overline{lim} \sqrt[n]{a_n}$ — конечен $= \frac{1}{R}$ $|z - z_0| \lt R$ ряд $(A)$ сходится абсолютно $|z - z_0| \gt R$ расходится (слагаемые $\nrightarrow 0$)

$\triangleleft$

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Пусть ряд $(A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 \lt R \le + \infty$ — радиус сходимости. Тогда: 1) Для $r : 0 \lt r \lt R$ ряд $(A)$ равномерно сходится в круге $\overline{B(z_0, r)}$ 2) В круге $B(z_0, R)$ сумма ряда $(A)$ — непрерывна.

Доказательство:

$\triangleright$

(1) Признак Вейерштрасса $z \in \overline{B(z_0, r)}$ $|a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n$ $\sum |a_n| \cdot r^n$ — сходится! т.к. $\sum a_n \cdot r^n$ — абс. сх. $(z := z_0 + r \in B(z_0, R))$ (2) фиксируем $z \in B(z_0, R)$; Возьмём $r : |z - z_0| \lt r \lt R$ В $B(z_0, r)$ ряд р. сх. и слагаемые непр. $\Rightarrow$ сумма непрерывна.

$\triangleleft$

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Лемма:

Пусть $f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f$ — комплексно дифференцируема в точке $z_0$. Тогда, если $f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} )$, отображение $F$ дифференцируемо в $(x_0, y_0)$ и выполнены соотношения: $\frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0)$ $\frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0)$ (уравнения Коши-Римана)

Доказательство:

$\triangleright$

Википедия [1]

$\triangleleft$

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Ряд $(A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| \lt R$ Ряд $(A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1}$ Тогда: 1) радиус сх-ти $(A') = R$. 2) при $|z - z_0| \lt R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1}$ [Тогда $f$ — дифф. при $|z - z_0| \lt r$ и $f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1}$ ]

Доказательство:

$\triangleright$

$R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R$ $\frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h}$ Проверим р. сх. $z \in B(z_0, r), r \lt R$; $]h : |h| \le r - |z - z_0|$ Тогда: $z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r$ $|a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1}$ $\sum h|a_n|r^{n - 1}$ — сх. $\Rightarrow$ по признаку Вейерштрасса р. сх. при $|h| \lt r - |z - z_0|$ $f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n$

$\triangleleft$

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

1.1) $\mathrm{exp}(0) = 1$

1.2) $\mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/$

1.3) $(\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/$

1.4) $(\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1$

Теорема:

$\forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w)$

Доказательство:

$\triangleright$

$\sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!}$ $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} =$ $= \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!})$

$\triangleleft$

• Следствие: $\mathrm{exp}(z) \ne 0$ — ни при каких $z$

2.1) $\sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i}$

2.2) $\cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2}$

2.3) $\cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

2.4) $\sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!}$

2.5) Пусть $T(x) = \mathrm{exp}(ix)$

$T(x+y) = T(x)T(y)$

$\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$

$\sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x)$

2.6) $|T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

$(\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1$

2.7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix})$

---

$x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases}$

$|x| \lt 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}$

$\sum a_k \to$ Абель $\to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S$

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

$\triangleright$

Покажем, что значение производного оператора $A$ на каждом векторе $h\in\mathbb{R}^n$ определяется однозначно. По линейности оператора $A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m$. Зафиксируем $h\ne\mathbb{O}_n$. Возьмём достаточно малое по модулю $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ (достаточно взять $|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)$, где $B(x, r)\subset D$) и подставим $th$ вместо $h$ в равенство из определения. По линейности $A$ имеем: $f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0$. Перенеся $f(x)$ в левую часть и разделив на $t$, получим: ${f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah$, то есть $Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}$.

$\triangleleft$

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения $f$ в точке $x$ равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций $f_i$ в точке $x$.

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть $f$ дифференцируемо в точке $x$. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: $f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]$. Координатные функции $A_i$ линейного оператора $A$ являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения $\alpha$ равносильно такому же свойству его координатных функций $\alpha_i$. Поэтому для $f_i$ выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть $f_i$ дифференцируемы в точке $x$. Тогда для каждого $i\in[1:m]$ существует линейная функция $A_i$ и функция $\alpha_i$, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для $f$ выполняется равенство из определения производного оператора, где $A$ — оператор с координатными функциями $A_i$.

$\triangleleft$

Необходимое условие дифференцируемости.

Теорема:

Пусть $f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ — дифференцируемо в точке $a \in \operatorname{Int}(E)$ Тогда $\forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a)$ и матрица Якоби $f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a))$ Замечание: Для $F : E \rightarrow \mathbb{R}^l$ — дифференцируемо в точке $a$; $F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m}$

Доказательство:

$\triangleright$

$f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)$ $h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)$ $f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t)$ — это св-во дифф-ти $\varphi_k$ в $\cdot (a)$ из опр. частн. производных. ${o(h)\over ||L||} \rightarrow 0$

$\triangleleft$

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема:

Пусть $f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E$, в шаре $B(a, r)$ существуют все $f'x_k, k = {1..m}$ и все производные непрерывны в точке $a$. Тогда $f$ дифференцируема в точке $a$

Доказательство:

$\triangleright$

$m = 2$ $f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^*$ // $=^*$ — По теореме Лагранжа // $\varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2)$ // $t$ — средняя точка $=^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) =$$\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) +$ $o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}$ [math][\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \[/math] где: $\frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1$ по модулю; $[\ldots] \to 0$ при $(x_1, x_2) \to (a_1, a_2)$

$\triangleleft$

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть $A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l$ — линейный оператор. Тогда $||Ax|| \le C_A||x||$, где $C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2}$ ($a_{i, j}$ — элементы его матрицы)

Доказательство:

$\triangleright$

$||x|| = 0$, т.е. если $x = 0$, то тривиально $||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le$ (КБШ) $\sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})$ $x^{(k)} \rightarrow x$ $||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0$ $Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax$ $||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x||$

$\triangleleft$

Дифференцирование композиции

Теорема:

$F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I$ $G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI$ $F$ — дифф. в $(\cdot) a, G$ — дифф. в $(\cdot) b$; $H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x))$ Тогда: $H$ — дифф. в $(\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a)$

Доказательство:

$\triangleright$

$F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0$ $G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0$ $H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) =$$G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| =$ $= \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}}$ 1. $||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h)$ 2. $\beta(k)||k||$ $\|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|)$ $||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)$ $F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m))$ $G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l))$ $H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots))$ $\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a)$

$\triangleleft$

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть $F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l$, $\lambda: E \to \mathbb{R}$, $a \in \operatorname{Int} E$; $F, G, \lambda$ — дифференцируемые в $a$. тогда: 1) $(\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h)$ 2) $\left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle$ (здесь $\left \langle a, b \right \rangle$ — скалярное произведение $a$ и $b$)

Доказательство:

$\triangleright$

1. Введём координатную ф-ю $F = (f_1 \ldots f_l)$ $(\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h)$ — $i$-ая коорд. док. ф-лы; $]f_i \leftrightarrow f$ $\lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) = (\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) =$ $= (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h)$ $|| \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0$ $||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)||$ — ограничена. $||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h)$ 2. $\left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h =$ лин. дифф. $\sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a)$$+ f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle$ Замечание: $m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l$ $\left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle$

$\triangleleft$

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

$F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F$ — непр. на $[a, b]$ и дифф. на $[a, b]$ Тогда: $\exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a|$

Доказательство:

$\triangleright$

$\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R})$ $\varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2$ $\begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\ \varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix}$ $||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a)$ // Если ехать быстро и криво $F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t)$ $F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1$ при $\forall t$ $||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a)$ // $||F'(x)|| = 1; (b - a)$ — длина дуги; $||F(b) - F(a)||$ — длина хорды

$\triangleleft$

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

$f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f$ — дифф. в $(\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0$ $l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||}$ — направление Тогда $l$ указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а $-l$ самого быстрого убывания. Более того: $\forall$ напр. $u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)||$ равенство достижимо для $u = \pm l$

Доказательство:

$\triangleright$

$-||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u||$ // $u = 1$ // $\frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle$

$\triangleleft$

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

$f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE$ $\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}$ — опр. в окр. $(\cdot) a$, дифф. в окр. $(\cdot) a$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$ — непр. в $(\cdot) a$ Тогда эти две частные производные равны.

Доказательство:

$\triangleright$

$\vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2)$ — задано при $|h|, |k| \lt r; V(a) = B(a, 2r)$ фикс. $k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2)$ $\vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h =$$(f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk$ $\bar h, \bar k$ — средние точки $\psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k)$ $\vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk$ $f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2}$

$\triangleleft$

• Замечание 1:

Аналогично: $i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j$

$\frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j}$ — опр. в окр. $(\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ — непр. в $(\cdot) a$

• Замечание 2:

Если $f$ сущ. част. пр. $k$-того порядка в окр. $(\cdot)a$ и все они непр. в $(\cdot)a$

Для $\forall i_1 \ldots i_k$ — индексы $\in \{ 1 \ldots m \}$

и $\forall j_1 \ldots \j_k$ — которые получаются из набора $i_1 \ldots i_k$ перестановка

Верно: $\frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a)$

Полиномиальная формула

Лемма:

Если $r \in \mathbb{Z}_+$, $k$ — мультииндекс, $a$ - вектор, то $(a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k}$

Доказательство:

$\triangleright$

Индукция по $r$ $r = 1$ $k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1$ $r = r + 1$ $(a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} =$ $= \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} +$$\sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} =$ $= \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} +$ <ещё $m - k$ суммы> = $\sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m}$; $\beta_1 \ge 1 ..$ — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с $\beta_1 = 0$ имеют нулевой индекс $(k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m)$

$\triangleleft$

• Замечание 1

$\sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} =$$\sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r}$

• Замечание 2

$m = 2; k_1, k_2 = r - k_1$

$\sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r$

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть $f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, $E$ открыто в $\mathbb{R}^m$, $\ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m$, так, что $\forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E$. Также $f \in C^r(E)$. Пусть $\varphi (t) = f(a + th)$. Тогда $\forall t_0 \in (-1; 1)$ верно $\varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha}$.

Доказательство:

$\triangleright$

Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.

$\triangleleft$

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть $r \in \mathbb{R}_+$, $D$ открыто в $\mathbb{R}^n$, $f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D$. Тогда существует такое $\theta \in (0, 1)$, что $f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}$ $f(a+h) = \phi(1)$ Разложили $\phi(1)$ по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

$\triangleleft$

Также можно обозначить точки через $x$ и $x + h$, тогда формула запишется в виде $f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k$.

Пеано:

Теорема:

Пусть $r \in \mathbb{N}$, $D$ открыто в $\mathbb{R}^n$, $f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D$. Тогда $f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n$.

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема:

$(1) ||\ldots||_{m, n}$ — норма в пр-ве $\mathcal{L}_{m, n}$, то есть $1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n}$ $2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A||$ $3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B||$ $(2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n}$

Доказательство:

$\triangleright$

$(1)$ 1. очевидно $||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O}$ // для $x \in B(0, 1)$ 2. очевидно, св-ва $sup$. Википедия[2] 3. $\forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x|$$= (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C$ \\ $||A|| + ||B|| = C$ $(2)$ $|B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C$ \\ $||B|| \cdot ||A|| = C$

$\triangleleft$

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

$F : E$ откр. $\subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n;$ дифф. $E; a, b \in E$ $[a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E$ Тогда: $\exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a|$

Доказательство:

$\triangleright$

$g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a)$ // $|g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a|$ $||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a|$

$\triangleleft$

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть $A \in \Omega(\mathbb{R}^n)$ ($\Omega(\mathbb{R}^n)$ — множество обратимых линейных операторов в $\mathbb{R}^n$), $B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || \lt \frac{1}{||A^{-1}||}$. Тогда: 1) $B \in \Omega (\mathbb{R}^n)$; 2) $||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||}$; 3) $||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||$.

Доказательство:

$\triangleright$

Лемма: пусть $\exists{c \gt 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|$ Тогда $B$ — обратим, $||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}$ Это правда, потому что $\operatorname{Ker}{B} = \{0\}$, значит, $B$ — биекция(пусть $B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$) Неравенство получается из $|Bx| \ge c|x|$ заменой $Bx=y, x = B^{-1}y$ Само доказательство: $|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|$ По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме $B$ обратим, по этой же лемме выполнено 2). $||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||$

$\triangleleft$

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Теорема:

Пусть $F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$, где $E$ открыто, дифференцируемо на $E$. Тогда эквивалентны утверждения: $I) F \in C^{1}(E)$ $II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n}$ — непрерывна.

Доказательство:

$\triangleright$

$I \Rightarrow II$ $||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij});$ ? $F'$ непр. в $(\cdot) \overline{X}$ $\forall \epsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \forall x : |x - \overline{x}| \lt \delta$ $||F'(x) - F'(\overline{x})|| \lt \epsilon$ $||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2}$ $\forall \epsilon \gt 0$ выберем $\delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \lt \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}$; при $|x - \overline{x}| \lt \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m$ $II \Rightarrow I$ $F'$ — непрерывна. $e_1 \ldots e_m$ — нормированный базис $\mathbb{R}^m$ $F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix};$ $\begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix}$ Точно также: $|\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})||$

$\triangleleft$

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Необходимое условие экстремума:

Теорема:

Пусть $f: E$ открыто $\subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a$ — точка лок. экстремума. $f$ — дифф. на $E$. Тогда $\nabla_a f = 0$ (т.е. $f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0$)

Доказательство:

$\triangleright$

Меняем $f(a+l)$ на $g(t)=f(a+tl)$, по теореме Ферма из первого семестра $g'(0)=0$. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.

$\triangleleft$

Теорема Ролля:

Теорема:

Пусть $f: K$ компакт $\subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, дифференцируемо на $\operatorname{Int} K \ne 0$, $f \equiv \operatorname{const}$ на $\partial K$ (граница $K$), $f$ — непр. на $K$. Тогда существует $a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0$.

Доказательство:

$\triangleright$

Если $f$ постоянна на $K$, то утверждение очевидно. Если нет, то по теореме Вейерштрасса $f$ на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.

$\triangleleft$

Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах

Утверждение:

1) Если квадратичная форма $h$ положительно определена, то существует такое $\gamma_h$, что $h(x) \ge \gamma_h |x|^2$ для всех $x \in \mathbb{R}^m$ 2) Пусть $p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+$ — норма. Тогда $\exists c_1, c_2 \gt 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x|$.

$\triangleright$

1) $\gamma_h = min_{|x| = 1}h(x)$ (Сфера $\{ x : |x| = 1 \}$ — компакт по теореме Вейерштрасса $\exists min$) $x = 0 : \text{ok}$ $x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2$ $h(tx) = t^2 h(x)$ 2) $c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x);$ — по т. Вейерштрасса (т.к. $p(x)$ — непр.) $x = 0 : \text{triv}$ $x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix}$

$\triangleleft$

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть $f = Е$ открыто в $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, дифф. на $Е, a \in E$ — стационарная точка $f$ (то есть $\nabla f(a) = \mathbb{O}_m$). $d^2 f(a, h) = Q(h)$ — кв. форма. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если $Q(h)$ положительно определённая, то $a$ — точка минимума (локального). 2) Если $Q(h)$ отрицательно определённая, то $a$ — точка максимума (локального). 3) Если $Q(h)$ не знакоопределённая, то $a$ — не точка экстремума. 4) Если $Q(h)$ положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование

Доказательство:

$\triangleright$

$(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j$ $2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j$ // $|h_i| \lt |h|$ Выберем $U(a)$ так, чтобы при $a + h \in U(a)$ $\sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2}$ $2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 \gt 0$ Таким образом $a$ точка локального минимума $(3) : Q(h)$ — не знакоопределён. $\begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) \lt 0 \end{matrix}$ $2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j =$ $= t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j$ $Q(h) \gt 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j$ — при $t \to 0$ эта сумма из '?' б.м по модулю $\le Q(h)$ при малых $t$

$\triangleleft$

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть $F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ — диффеоморфизм, $x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0$. Тогда $\exists c, \delta \gt 0 \ \forall h: |h| \lt \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h|$

Доказательство:

$\triangleright$

1) $F$ — линейное. $\exists (F'(x_0))^{-1}$ $F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F$ $|h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh|$ $|Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||}$ 2) $F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||}$ $|F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h|$$= (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h|$ // $\ge^*: \exists \delta \gt 0:$ при $|h| \lt \delta: |\alpha(h)| \lt \frac{c}{2}$

$\triangleleft$

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть $F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$, где $O$ открыто — диффеоморфизм в $O$, $\forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0$. Тогда $F(O)$ открыто. Замечание 1. Если $O$ — лин. связное и $F$ — непр. $\Rightarrow F(O)$ — лин. связное 2. Непрерывность $F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A)$ — откр. [в $O$]

Доказательство:

$\triangleright$

$x_0 \in O; y_0 = F(x_0)$ — внутрення точка $F(O)$? $\exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h|$ при $|h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0$ $dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)$ Возьмем $r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta)))$(S — сфера, т. е. граница шара) Утверждение: $B(y_0, r) \subset F(O)$ Т.е.: $\forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y$ $\varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2;$ $x \in B(x_0, \delta$ $min \varphi$ — внутри $B(x_0, \delta)$ В точке $x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 \lt r^2$. На сфере $S(x_0, \delta)$: $\varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ \lt r })^2 \ge r^2$ $\varphi$ — имеет $(\cdot) min$ внутри шара $B(x_0, \delta)$ по теореме Вейерштрасса $\begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases}$ $det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow$ в точке минимума $\begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix}$(у системы есть только тривиальное решение)

$\triangleleft$

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть $F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O)$, $F$ — обратима и невырождена, $(\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0$. Тогда: 1) $F^{-1} \in C^r$ 2) $y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1}$

Доказательство:

$\triangleright$

1) $r = 1$ $F(O) = O'$ — открытое Пусть $S = F^{-1}, S : O' \to O$ Пусть $U \subset O$ — открытое, тогда $S^{-1}(U)$ — открытое. $T : X \to Y$ — непрерывное отображение $\Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U)$ — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны. $y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0)$ $y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0)$ $S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0)$ $T$ — диффеоморфизм, матрица $T'(x_0)$ невырождена $\Rightarrow$ $\exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| \gt c|x - x_0|$ // По лемме о почти локальной инъективности Возьмём $c, \delta$ из леммы. Пусть $T = F'(x_0)$ $y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0|$ $S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)}$ Можно считать, что $y$ близко к $y_0$, так что $|x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| \lt \delta$ $| \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le$$\| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)|$ $// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0$ $y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y)$ 2) $r$ — любое. (без доказательства)

$\triangleleft$

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть $F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$, где $O$ открыто; $F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0$ Тогда $\exists U(x_0): \ F |_U$ — диффеоморфизм ($F |_U$ или $F|U$ — сужение отображения $F$ на множество $U$).

Доказательство:

$\triangleright$

Нужно проверить лишь: $\exists U(x_0) : F|_U$ — обратима [так как можно считать что $\det F'(x) \ne 0$ на $U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0))$ открыто и $F^{-1}$ определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам] $|F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y|$ // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что $\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| \gt 0$, тогда отображение будет биекцией. $\exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O$ $\begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| \lt \frac{c}{4} \end{matrix}$ $x, y \in B(x_0, r); y = x + h$ $F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h$ $|F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge$ $\ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| \gt 0$

$\triangleleft$

• Замечание

$\det F' \ne 0$ — нужно для дифференцируемости.

$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1}$ — не дифференцируемо в нуле

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть $F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n$, где $E$ открыто, $F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0$. Пусть известно, что $F'_y (a, b)$ невырождено ($\det F'_y (a, b) \neq 0$). Тогда: 1) существуют открытые $P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q$, и существует единственное $\varphi: P \to Q, \varphi \in C^r$, что $\forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0$ Раньше тут был забыт минус! 2) $\varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x))$

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть $\Phi(x, y) = (x, F(x,y))$. $\Phi(a, b) = (a, 0)$ $\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}$. $\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0$ По теореме о локальной обратимости $\exists{U(a,b)}$ — такая, что $\Phi$ — диффеоморфизм в данной окрестности. Тогда существует обратное отображение $\Psi(u, v) = (u, H(u, v))$. Почти очевидно, что $\varphi(x) = H(x, 0)$. Берем производную — получаем 2): $F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0$

$\triangleleft$

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть $M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k \lt m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty$ (гладкое многообразие), $p \in M$. Эквивалентные утверждения: 1) $\exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p)$ — простое $k$-мерное многообразие 2) $\exists \tilde{U}(p)$ и существуют функции $f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R}$ класса $C^r$, для которых выполняются условия: 2.1) $x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0$ 2.2) $\nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k}$ — линейно независимые

Доказательство:

$\triangleright$

$1 \Rightarrow 2$ $\Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m$ — параметризация $C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0)$ — матрица $m \times k$ $Rg \Phi'(t_0) = k$ — реализуется на первых $k$ степенях $\det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k)$ $2 \Rightarrow 1$ Очевидно: $(L \circ \Phi)'(p)$ — невырожденно. $\Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k)$ $\exists W(t_0) : L \circ \Phi$ — диффеоморфизм на $W(t_0)$ $V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L$ взаимно однозначное отображение $\Phi(W)$ на $V$ $\Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V))$ $\Phi(W)$ — открыто в $M \Rightarrow \Phi(W)$ — реал. как $G \cap M, \ G$ — откр. в $\mathbb{R}^m$ $G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1$ $\begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases}$ $\begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix}$

$\triangleleft$

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть $f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}$, где $E$ открыто, $\Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n$. Пусть $f$ имеет в точке $a$ локальный относительный экстремум. Тогда $\exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n$, что $\begin{cases} f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\ \Phi(a) = \mathbb{O}_n \end{cases}$

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть ранг реализуется на столбцах $x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n}$. Переобозначим $y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n}$. По теореме о неявном отображении: $\exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0$ $x \mapsto (x, \Psi(x))$ — гл. параметризация $g(x) = f(x, \Psi(x))$; Точка $a_x$ — лок. экстремум $g'$. $f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0$ — необходимое усл. экстремума в матр. форме. $\Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0$ $(f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0$ $\lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1}$ При таком $\lambda :$ $\begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases}$

$\triangleleft$

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть $A \in \mathcal{L}_{m, n}$. Тогда $|| A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda$ — собственное число $A^T \cdot A \}$.

Доказательство:

$\triangleright$

$||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle$

$\triangleleft$

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

1) Линейность по векторному полю: $I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma)$.

$\int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt$ — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

$\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b]$

$\gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m$

$I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2)$.

$\int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b$

3) Замена параметра: если $\varphi: [p; q] \to [a; b]$ — гладкая, $\varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b$, $\gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m$, $\tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m$ $s \mapsto \gamma(\varphi(s))$

Тогда $I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma})$.

$I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)}$$\int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds$

4) Пусть $\gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1$ — произведение путей:

$\gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases} \gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\ \gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c] \end{cases}$

то $I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2)$.

$\int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c}$ \\ заменить параметр $s = t - b + c; s \in [c, d]$

$\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_-$ — противоположный путь (в обратную сторону)

$\gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b]$

$I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma)$

$\int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds$

5) Оценка интеграла:

Теорема:

$| \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma)$, где $L(\gamma)$ — длина пути. $\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m$

Доказательство:

$\triangleright$

$| \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt|$

$\triangleleft$

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Теорема:

Пусть $V: O \to \mathbb{R}^m$ потенциально, $f$ — потенциал $V$, $\gamma[a;b] \to O$ — кусочно гладкий. Тогда $\int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$.

Доказательство:

$\triangleright$

1) $\int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b$ — доказано для гладкого пути \\ $V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))'$ $= f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m$ \\ $\frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m$ 2) $a = t_0 \lt t_1 \lt \ldots \lt t_n = b$ $\gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]}$ — гладкий $\int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) =$$\sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$

$\triangleleft$

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Теорема:

Если $V : O \to \mathbb{R}^m$ тогда эквиваленты следующие утверждение: 1) V потенциально в $O$ 2) Интеграл $V$ не зависит от пути (в обл. $O$) 3) $\forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0$

Доказательство:

$\triangleright$

$1 \Rightarrow 2$ — формула Ньютона-Лейбница $2 \Rightarrow 3$ — очевидно $\gamma$ — петля; $\gamma_1(t) \equiv \gamma(a)$ $\int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i$ $3 \Rightarrow 2$ — очевидно $\gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2}$ $2 \Rightarrow 1$ Фиксируем точку $x_0 \in O; \ \forall x \in O$ Возьмём как-нибудь путь $\gamma_x$ из $x_0$ в $x$ $f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f$ — потенциал? Докажем, что $\frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1$ (аналогично $\frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m$) Выберем $B(x, r) \subset O$ $|h| \lt r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0)$ $f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i =$ $= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt =$ теорема о среднем $= V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1]$ $\frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x)$

$\triangleleft$

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Лемма:

Пусть $f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y)$ — непрерывна, дифференцируема по $y$ при любых $x$ и $f'_y$ непрерывна на промежутке. Пусть $\Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d]$. Тогда $\Phi(y)$ дифференцируема и $\Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1]$ зависит от $x, y$ $f'_y$ — непрерывна на $[a, b] \times [c, d]$ $\forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x, y : |x - y| \lt \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| \lt \epsilon$ — равномерная непрерывность $| \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le$ $\le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a)$ $\le^* : \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall h : |h| \lt \delta$ $| \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | \lt \epsilon (b - a)$ — определение предела.

$\triangleleft$

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Теорема:

Пусть $V$ — гладкое потенциальное векторное поле в $O$. Тогда $\forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m]$

Доказательство:

$\triangleright$

$f$ — потенциал, обе части $(*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ (— непр., т.к. $V$ — гладкое)

$\triangleleft$

Лемма:

Пусть $O \subset \mathbb{R}^m$ — выпуклое, $V$ — векторное поле в $O$, гладкое и $\forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}$. Тогда $V$ — потенциальное.

Доказательство:

$\triangleright$

фиксируем $A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A$ $f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i =$$\int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt$ $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt =$ $= \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x)$

$\triangleleft$

Лемма о гусенице

Лемма:

Пусть $\gamma: [a, b] \to O$. Тогда существуют дробление $a = t_0 \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b$ и шары $B_1, ..., B_n \subset O$, что $\gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n]$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\forall c \in [a, b]$ — выберем шар $B(\gamma(c), V_c) \subset O$ $\tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \}$ $\tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \}$ Пусть $\tilde \alpha_c \lt \alpha_c \lt c \lt \beta_c \lt \tilde \beta_c$ $\forall c$ мы имеем $(\alpha_c, \beta_c)$ — открытое покрытие $[a, b]$ и $\exists$ конечное подпокрытие Можно считать $\forall i \ \exists s_i$ — которое лежит в $(\alpha_{c_i}, \beta_{c_i})$, но не лежит в $(\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j$ $s_1 \lt s_2 ... \lt s_n$

$\triangleleft$

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма:

Пусть $\gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m$ — кусочно-гладкие, похожие, $V$ — локально-потенциальное векторное поле, $\gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b)$. Тогда $\int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i$.

Доказательство:

$\triangleright$

Cуществуют дробление $a = t_0 \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b$ и шары $B_1, ..., B_n \subset O$ $\forall k$ в $B_k$ существует потенциал векторного поля $V$ $\gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k$ Пусть $f_1$ — потенциал $V$ в $B_1$, в $B_2$ выберем потенциал $f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1))$ в $B_3$ выберем $f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2)))$ и т.д. $\int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1}))$ $\int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0))$

$\triangleleft$

• Замечание

$\gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b)$

Лемма о похожести путей, близких к данному

Лемма:

Пусть $\gamma: [a, b] \to O$. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] $\exists \delta \gt 0$ такое, что если пути $\gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O$ — «близкие» к $\gamma; *$, то есть $\forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | \lt \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | \lt \delta$, то $\gamma_1, \gamma_2$ похожи.

Доказательство:

$\triangleright$

Cуществуют дробление $a = t_0 \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b$ и шары $B_1, ..., B_n \subset O$ для $\gamma$ $\gamma[t_{k - 1}, t_{k}]$ — компакт в $B_k$ $\exists \delta_k \gt 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k)$ $\delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k$ $A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) \lt \delta \} \subset B_k$ $\forall \gamma_1, \gamma_2$ — удовл. $* : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k$ и $(\{B_k\}, \{t_i\})$ — гусеница реал. похож. путей

$\triangleleft$

Равенство интегралов по гомотопным путям

Теорема:

Пусть $V$ — локально-потенциальное векторное поле в $O$, $\gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O$ — связанно гомотопны. Тогда $\int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i$. Тоже верно для петельной гомотопии.

Доказательство:

$\triangleright$

$\Gamma$ — гомотопия. $\gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1]$ $\Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i$. Проверим, что $\Phi$ — локальная постоянная $(\forall u_0 \ \exists W(u_0)$ при $u \in W(u_0) : \Phi$ — постоянна) $\Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O$ — равномерно непрерывна. $\forall \delta \gt 0 \ \exists \zeta \gt 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ $$\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| \lt \zeta \\ |u_1 - u_2| \lt \zeta \end{matrix}$ верно $|\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| \lt \frac{\delta}{2}$

$\triangleleft$

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Теорема:

Пусть $O$ — односвязная область, $V$ — локально потенциальное поле в $O$. Тогда $V$ потенциально.

Доказательство:

$\triangleright$

$V$ — потенциально $\Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0$ По предыдущей теореме: $\int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i$ — гомотопия пост. пути $\gamma_1$

$\triangleleft$

Следствие: если $O$ — односвязная, $V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}$, то $V$ — потенциально.

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Теорема:

$\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt$

Доказательство:

$\triangleright$

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) $\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx$ Доказывается заменой $\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}$ и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) 2) Доказываем, что x — точка максимума для $\ln{\cos{x}}$, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора $n\ln{\cos{x}}$ на $-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)$ и показываем, что это $o(x^2)$ не мешает подставить замену в интеграл. 3) Делаем замену $t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt$, получаем интеграл из условия.

$\triangleleft$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Лемма:

Пусть $f(x)$ непрерывна, $f(x) \gt 0$ на $(a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x)$ строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда $\forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)}$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M$ $\int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx$ // последняя экспонента с большим показателем

$\triangleleft$

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема:

Пусть $f \gt 0$ на $(a; b)$, непрерывна, $\int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q \gt -1, \ L \gt 0, \ \varphi$ непрерывна, строго убывает, $\varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p \gt 0$. Тогда $\int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p})$.

Доказательство:

$\triangleright$

В доказательстве используется прием: при $q \gt 1, p \gt 0, A \gt 0, s \gt 0$ в интеграле $\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt$ вводим замену $u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}$. Тогда он превращается в $\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du$, который при $A\to{+\infty}$ стремится к $\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})$ Утверждения: 1) $\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon \gt 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A \gt A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}$ (следствие из теоремы о локализации) 2) $\forall{\varepsilon \gt 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A \gt A_0}$ $(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})$ (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) Доказательство Выбираем окрестность точки $a: [a; a+s]$ и $\varepsilon$ такое, что $1-\varepsilon \lt \frac{f(t)}{L(t-a)^q} \lt 1+\varepsilon$ $1-\varepsilon \lt \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} \lt 1+\varepsilon$ Для $A \gt A_0$, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется: $\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le$ $\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau$ По утверждению 2 это меньше или равно $\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]$. В квадратных скобках то, что нам нужно. Используя другие части неравенства, находим, что $\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]$. Вроде доказали.

$\triangleleft$

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Теорема:

Пусть $f$ непрерывна на $[a; b]$. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) $P_n(x), \ n = 1, 2 ...$, что $\forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x)$.

Доказательство:

$\triangleright$

$[a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1]$ // Можно считать $\begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix}$ $\tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases}$ Заметим, что: $\int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b]$ $\varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi$ — достигается при $t = x$ $\varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x$ $\varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0$ $Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty$ $\sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty$

$\triangleleft$

• Замечание

$\forall f$ — непр. на $[a, b] \ \ \exists f_n(x)$ — многочлен : $P_n(x) \rightrightarrows f$ на $[a, b]$

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теорема:

$\Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x}$

Доказательство:

$\triangleright$

$\Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ $$\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim$ // $\varphi(u) = -(u - \ln u)$ // $\varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max$ // $\varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1$ $\sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

$\triangleleft$

Определения и факты

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций $f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x)$ называется равномерно сходящейся на множестве $X$, если существует предельная функция $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X )$ и для любого числа $\varepsilon \gt 0$ можно указать число $N = N(\varepsilon)$ такое, что $|f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon$ при $n \gt N$ и $x \in X$. В этом случае пишут $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве $X$, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд $\sum a_n(x) b_n(x)$, $x \in X$: 1) $\sum a_n(x)$ равномерно сходится, $x \in X$ 2) $b_n(x)$ равномерно ограничена и монотонна по $n$ Тогда $\sum a_n(x) b_n(x)$ равномерно сходится на $X$.

Радиус сходимости степенного ряда

см. Теорема о круге сходимости степенного ряда пункт 3.

Формула Адамара

Определение:

Число $R$ — радиус сходимости. $R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}}$

Комплексная производная

Определение:

Пусть $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C}$. Тогда $f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$.

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Определение:

$\mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}$ $\sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz))$ $\cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz))$

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть $\varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l$, $a \in E$. $\varphi$ — бесконечно малое при $x \to a$, если $\lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l$. ($\mathbb{O}_l$ — $l$-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть $\varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l$. $\varphi(h) = o(h)$ при $h \to 0$, если $\frac{\varphi(h)}{||h||}$ — бесконечно малая при $h \to 0$.

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D$ ($\operatorname{Int} D$ — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор $A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)$ ($\mathcal{L}(X\to Y)$ — множество линейных ограниченных операторов из $X$ в $Y$), что $f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n$, то отображение $f$ называется дифференцируемым в точке $x$. При этом оператор $A$ называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения $f$ в точке $x$ и обозначается $f'(x)$.

Производный оператор

Определение:

Оператор $A$ из определения производной называется производным оператором отображения $f$ в точке $x$.

Дифференциал отображения

Определение:

Величина $f'(x)h$ называется дифференциалом отображения $f$ в точке $x$, соответствующим приращению $h$, и обозначается $df(x,h)$ или $d_x f(h)$.

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ дифференцируемо в точке $x\in\operatorname{Int} D$. Матрица оператора $f'(x)$ называется матрицей Якоби отображения $f$ в точке $x$.

Частные производные

Определение:

Пусть $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n]$. Производная $\frac{\partial f}{\partial e^k} (x)$ (где $e^k$ — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции $f$ по $k$-ой переменной в точке $x$ и обозначается ещё $D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x)$.

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $x \in Int(D)$, $h \in \mathbb{R}^n$. Предел $\lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t}$ называется производной функции $f$ по вектору $h$ в точке $x$ и обозначается $D_h f(x)$ или $\frac{\partial f}{\partial h}(x)$. Если $|h| = 1$, то вектор $h$ называется направлением, а производная по нему — производной по направлению $h$.

Градиент

Определение:

Пусть $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D$. Если существует такой вектор $a\in\mathbb{R}^n$, что $f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n$, то функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x$. Вектор-строка $a$ называется градиентом функции $f$ в точке $x$ и обозначается $\operatorname{grad} f(x)$ или $\nabla f(x)$. Символ $\nabla$ называется символом или оператором Гамильтона или оператором Набла.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что $r - a \in \mathbb{R}$ и частные производные порядка $r - 1$ уже определены. Пусть $i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D$. Частная производная функции $f$ порядка $r$ по переменным с номерами $i_1, ..., i_r$ в точке $x$ определяется равенством $D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x)$, если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, $r$ раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве $D$ пространства $\mathbb{R}^n$, обозначается $C^{(r)} (D)$ или $C^r (D)$. По определению $C^0 (D) = C(D)$ — класс непрерывных на $D$ функций. Через $C^{(\infty)} (D)$ обозначается класс бесконечно дифференцируемых на $D$ функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор $k \in \mathbb{Z}_+^n$ называют мультииндексом. Величину $(k) = k_1 + ... + k_n$ называют высотой мультииндекса $k$.

Если $k = (k_1, .., k_n)$ — мультииндекс, $(k) \leqslant r$, то частную производную порядка $k$ (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса $C^{(r)}$ обозначают $D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)}$. Также полагают $k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n !$, $h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n}$, где $h \in \mathbb{R}^n$.

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

$f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k$

$f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k$

$f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n$

С остатком в интегральной форме:

$f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt$

Формула в дифференциалах:

$f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h)$

Формула в координатах:

$f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0)$

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m)$. Тогда: $df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m$ $d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ...$ $d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ...$ $d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r}$, где $c_{i_1, ..., i_r}$ — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве $X$ над $\mathbb{R}$ — функция $p: X \to \mathbb{R}_+$, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ($p(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$), положительная однородность ($p(\lambda x) = |\lambda| p(x)$, где $\lambda$ — скаляр), неравенство треугольника ($p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)$). Аналогично для матриц (там $\lambda \in \mathbb{R}$).

Определение:

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), $A: X \to Y$ — линейный оператор. Нормой оператора $A$ называется величина $|| A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax|$.

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D$. Если существует такая окрестность $V_{x_0}$ точки $x_0$, что для любого $x \in V_{x_0} \cap D$ выполняется неравенство: $f(x) \leqslant f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой максимума функции $f$; $f(x) \lt f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой строгого максимума функции $f$. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если $x_0$ является точкой (строгого) максимума или минимума функции $f$, то $x_0$ называется точкой (строгого) экстремума $f$.

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть $K$ — квадратичная форма от $n$ переменных. 1) Если $K(h) \gt 0$ для всех $h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \}$, то форма $K$ называется положительно определённой. 2) Если $K(h) \lt 0$ для всех $h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \}$, то форма $K$ называется отрицательно определённой. 3) Если форма $K$ принимает значения разных знаков, то $K$ называется неопределённой. 4) Если $K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0)$ для всех $h \in \mathbb{R}^n$ и существует такое $h \neq \mathbb{O}_n$, что $K(h) = 0$, то форма $K$ называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение $F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$, где $O$ открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в $O$, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из $n$ уравнений для функций от $m + n$ переменных. Функции дифференцируемы $n$ раз. $\begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases}$ $\frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix}$ Пусть $(a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n)$ удовлетворяет системе, $\det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0$. Тогда существует $u(a) \subset \mathbb{R}^m$ и существует единственное отображение $\Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n$ такие, что $\forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x))$ удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

$M \subset \mathbb{R}^m$ — простое $k$-мерное многообразие, если $\exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M$. $\Phi$ называется параметризацией. Если $\Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k$ ($\operatorname{rg}$ — ранг), то $M$ — простое гладкое (класса $C^r$) $k$-мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть $f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\}$ ($\Phi(x) = \mathbb{O}_n$ — уравнение связи). Тогда $p \in H_{\Phi}$ — локальный относительный (условный) экстремум $f$ при условии $\Phi = \mathbb{O}_n$. Это значит, что $p$ — локальный экстремум $f | _{H_\Phi}$. Если $\exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) \gt f(p)$, то $p$ — локальный минимум (строгий), если $f(x) \geqslant f(p)$, то $p$ — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть $f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D$. Если $\Phi (x_0) = \mathbb{O}_m$ и существует такая окрестность $V_{x_0}$ точки $x_0$, что для любого $x \in V_{x_0} \cap D$, удовлетворяющего условию $\Phi(x) = \mathbb{O}_m$, выполняется равенство $f(x) \leqslant f(x_0)$, то $x_0$ называется точкой условного или относительного максимума функции $f$ при условии связи $\Phi (x) = \mathbb{O}_m$.

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки $a$ выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть $h = (h_1, ..., h_{m+n})$ — решение уравнения $\Phi'(a) h = 0$. Рассмотрим квадратичную форму $Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a$, где $G$ — функция Лагранжа ($G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x)$, $\varphi_i$ — условия), где $\lambda_1, ... \lambda_n$ взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если $Q$: 1) положительно определена, то $a$ — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то $a$ — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то $a$ — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли $a$ точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — $\varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M$, непрерывное $L = \varphi([a; b])$ — носитель пути («кривая») $\varphi$ — кусочно-гладкий путь, если существует дробление $t_0 = a \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b$ такое, что $\varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]}$ — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

$V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$, где $E$ открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля $V$ — гладкое векторное поле, если $V \in C^r (E, \mathbb{R}^m)$ Пусть $V$ — непрерывное векторное поле в $E$, $\gamma$ — кусочно-гладкий путь в $E$: $\gamma: [a; b] \to E$. Тогда интеграл векторного поля по пути $\gamma$ равен $I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m)$, где $x_i = \gamma_i(t)$.

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть $O \subset \mathbb{R}^m$ ($O$ — область). $V: O \to \mathbb{R}^m$ потенциально в $O$, если существует потенциал $F: O \to \mathbb{R}^m$, где $F$ дифференцируемо в $O$, такой, что $\frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m]$.

Потенциал векторного поля

Определение:

$F$ из предыдущего определения — потенциал.

Похожие пути

Определение:

Пути $\gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m$ — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).

Локально-потенциальное векторное поле

Определение:

$V: O \to \mathbb{R}^m$ — локально-потенциальное, если $\forall x \in O \ \exists U(x) \subset O$ такое, что $V$ — потенциальное в $U(x)$.

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Определение:

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Определение:

Пусть $\gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O$. $\Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O$ — гомотопия этих путей, если она непрерывна и $\forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$. Связанная гомотопия — $\gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b)$. Петельная гомотопия — $\gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s)$.

Односвязная область

Определение:

Область $O$ — односвязная, если любая петля в $O$ стягиваема: $\forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2$ — петельно гомотопные пути, $\gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a)$.

Примеры

Производная линейного отображения

$L'(x) = L$

По определению:

$L(x + h) - L(x) = L(h)$

n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность

Равносторонний $n$-угольник.

школьное доказательство.

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны $a_1, a_2, ... a_n$. Необходимо максимизировать $\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))$. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна $2\pi$) и будем максимизировать следующую функцию от $n-1$ переменной: $\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))$.

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

$\begin{cases} cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\ ... \\ cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \end{cases}$

Откуда получаем $a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}$. Поскольку все углы лежат в пределах $(0..\pi)$, то из первого уравнения $a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}$ находим $a_1 = 2\pi / n$. То, что это решение и есть максимум очевидно.

Непотенциальное векторное поле

Любое отображение, для которого $\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}$ для каких-нибудь i и j. Например, $F(x, y, z) = (xy, xz, yz)$: $\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z$

Односвязная область

Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.