Базис Шаудера

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда [math]X[/math] имеет базис Шаудера.

Определение:

Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].

Примеры:

• ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
• в [math]L_p(E)[/math] и [math]C[a, b][/math] тоже есть базис Шаудера
• но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в [math]X[/math] есть базис Шаудера, тогда между [math]x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k[/math] и [math](\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)[/math] — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|[/math].

Утверждение:

Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — Банахово.

[math]\triangleright[/math]

TODO: доказать, доказательство есть в Люстернике-Соболеве

[math]\triangleleft[/math]

Определим биективный линейный оператор [math]T: F \to X[/math] как [math]T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n[/math].

Покажем, что он ограничен: [math]\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|[/math], то есть [math]\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1[/math].

Так как [math]F[/math] и [math]X[/math] — банаховы, по теореме Банаха об обратном операторе, обратный оператор также ограничен: [math]\|T^{-1}\| \le C[/math], то есть можно писать, что [math]\|\alpha\| \le C \|x\|[/math], или [math]\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|[/math]. Получили, что [math]\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|[/math]. Запишем оператор [math]T[/math] как [math]S_n + R_n[/math], тогда [math]R_n = T - S_n[/math], [math]\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C[/math], то есть нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. TODO: я ведь правильно распознал текст конспекта?

TODO: я что-то совершенно не понимаю, что там дальше происходит =(

Итак, если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом (Шаудера?), [math]A:X \to X[/math] — компактный, [math]\forall \varepsilon \gt 0: A = A_1 + A_2[/math], где [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty, \|A_n\| \lt \varepsilon[/math] — почти конечномерность компактного оператора.